Les lois de Kepler sur le mouvement planétaire ont été développés entre 1609 et 1619 par l'astronome et mathématicien allemand Johannes Kepler. Les trois lois de Kepler, utilisées pour décrire la orbites des planètes de Système solaire, ont été construits sur la base de mesures astronomiques précises, obtenues par l'astronome danois. Tycho Brahé.
Introduction aux lois de Kepler
Contributions laissées par Nicolas Copernic dans le domaine de astronomie rompu avec la vision géocentriste de l'Univers, dérivé du modèle planétaire de Claudio Ptolémée. Le modèle proposé par Copernic, bien que complexe, a permis de prédiction et le explication des orbites de plusieurs planètes, cependant, il présentait quelques défauts, dont le plus dramatique étant une explication satisfaisante de l'orbite rétrograde de Mars pendant certaines périodes de l'année.
Voir aussi :histoire de l'astronomie
La résolution de problèmes inexplicables par le modèle planétaire de Copernic n'est venue qu'au XVIIe siècle, par les mains de
Johannes Kepler. À cette fin, Kepler a admis que les orbites planétaires n'étaient pas parfaitement circulaires, mais plutôt elliptique. En possession de données astronomiques extrêmement précises, réalisées par Brahe, Kepler a établi deux lois qui régissent le mouvement des planètes, 10 ans plus tard, il publie une troisième loi, qui permet d'estimer la période orbitale ou encore le rayon de l'orbite des planètes qui gravitent autour de Soleil.
Les lois de Kepler
Les lois de Kepler sur le mouvement planétaire sont appelées : loi des orbites elliptiques,loi des aires et loi des périodes. Ensemble, ils expliquent comment fonctionne le mouvement de tout corps en orbite autour d'une étoile massive, comme planètes ou alors étoiles. Vérifions ce qui est dit dans les lois de Kepler :
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1ère loi de Kepler: loi des orbites
LES La première loi de Kepler affirme que l'orbite des planètes tournant autour du soleil n'est pas circulaire mais elliptique. De plus, le Soleil occupe toujours l'un des foyers de cette ellipse. Bien qu'elliptiques, certaines orbites, comme celle de la Terre, sont très proche d'un cercle, car ce sont des ellipses qui ont une excentricitébeaucouppeu. L'excentricité, à son tour, est la mesure qui montre à quel point une figure géométrique diffère d'un cercle et il peut être calculé par la relation entre les demi-axes de l'ellipse.
"L'orbite des planètes est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers."
2ème loi de Kepler: loi des aires
La deuxième loi de Kepler stipule que la ligne imaginaire reliant le Soleil aux planètes en orbite balaie des zones à intervalles de temps égaux. En d'autres termes, cette loi stipule que le la vitesse à laquelle les zones sont balayées est la même, c'est-à-dire que la vitesse du halo des orbites est constante.
"La ligne imaginaire reliant le Soleil aux planètes en orbite autour de lui parcourt des zones égales à des intervalles de temps égaux."
3ème loi de Kepler: loi des périodes ou loi de l'harmonie
La troisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale d'une planète (T²) est directement proportionnel au cube de sa distance moyenne au Soleil (R³). De plus, le rapport entre T² et R³ a exactement la même magnitude pour toutes les étoiles qui orbitent autour de cette étoile.
"Le rapport entre le carré de la période et le cube du rayon moyen de l'orbite d'une planète est constant."
L'expression utilisée pour calculer la troisième loi de Kepler est indiquée ci-dessous, vérifiez-la :
T - période orbitale
R – rayon moyen de l'orbite
Regardez la figure suivante, dans laquelle nous montrons les axes majeur et mineur d'une orbite planétaire autour du Soleil :
Le rayon moyen de l'orbite, utilisé dans le calcul de la troisième loi de Kepler, est donné par la moyenne entre les rayons maximum et minimum. Les positions illustrées sur la figure, qui caractérisent la distance la plus grande et la plus courte de la Terre au Soleil, sont appelées respectivement aphélie et périhélie.
Lorsque la Terre s'approche du périhélie, votre vitesse orbitale augmente, puisque le accélération gravitationnelle du Soleil s'intensifie. De cette façon, la Terre a le maximum énergie cinétique quand près du périhélie. En approchant de l'aphélie, il perd de l'énergie cinétique, réduisant ainsi sa vitesse orbitale à sa plus petite mesure.
Savoir plus: Accélération gravitationnelle - formules et exercices
La formule plus détaillée de la troisième loi de Kepler est présentée ci-dessous. A noter que le rapport entre T² et R³ est déterminé exclusivement par deux constantes, le nombre pi et la constante de gravitation universelle, ainsi que par le Pâtes du soleil:
g – constante de gravitation universelle (6.67.10-11 N.m²/kg²)
M – masse du Soleil (1 989,1030 kg)
Cette loi n'a pas été obtenue par Kepler, mais par Isaac Newton, à travers loi de la gravitation universelle. Pour le faire, Newton identifié que la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et le Soleil est un force centripète. Observez le calcul suivant, il montre comment il est possible d'obtenir, en se basant sur la loi de la gravitation universelle, l'expression générale de la troisième loi de Kepler :
Sachez également :Qu'est-ce que l'accélération centripète ?
Consultez le tableau suivant, dans lequel nous montrons comment les mesures de T² et R³ varient, en plus de leur rapport, pour chacune des planètes du système solaire :
Planète |
Rayon d'orbite moyen (R) en UA |
Période en années terrestres (T) |
T²/R³ |
Mercure |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
Vénus |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
Terre |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
Mars |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
Jupiter |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
Saturne |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
Uranus |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
Neptune |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
Le rayon moyen des orbites du tableau est mesuré en unités astronomiques (u). Une unité astronomique correspond à distancemoyenne entre la Terre et le Soleil, environ 1 496,1011 m. De plus, les faibles variations des rapports T² sur R³ sont dues à des limitations de précision dans les mesures du rayon orbital et de la période de Traduction de chaque planète.
Voirégalement: Applications de la force centripète - épines et dépressions
Exercices sur les lois de Kepler
Question 1) (C'est en 2019) Une station spatiale, Kepler, étudie une exoplanète dont le satellite naturel a une orbite elliptique de demi-majeure a0 et période T0, où d = 32a0 la distance entre la station et l'exoplanète. Un objet qui se détache de Kepler est attiré gravitationnellement vers l'exoplanète et entame un mouvement de chute libre depuis le repos par rapport à celle-ci. En négligeant la rotation de l'exoplanète, l'interaction gravitationnelle entre le satellite et l'objet, ainsi que les dimensions de tous les corps impliqués, se calculent en fonction de T0 le temps de chute de l'objet.
Modèle: t = 32T0
Résolution:
Si l'on tient compte du fait que l'excentricité de la trajectoire elliptique que va décrire l'objet est approximativement égale à 1, nous pouvons supposer que le rayon de l'orbite de l'objet sera égal à la moitié de la distance entre la station spatiale Kepler et le planète. De cette façon, nous calculerons combien de temps l'objet doit s'approcher de la planète à partir de sa position initiale. Pour cela, il faut trouver la période de l'orbite, et le temps de chute, quant à lui, sera égal à la moitié de ce temps :
Après avoir appliqué la troisième loi de Kepler, on divise le résultat par 2, puisque ce que l'on calcule c'était la période orbitale, dans laquelle, dans la moitié du temps, l'objet tombe vers la planète, et dans l'autre moitié, éloigne. Ainsi, le temps de chute, en termes de T0, c'est la même chose que 32T0.
Question 2) (Udesc 2018) Analyser les propositions concernant les lois de Kepler sur le mouvement planétaire.
JE. La vitesse d'une planète est maximale au périhélie.
II. Les planètes se déplacent sur des orbites circulaires, avec le Soleil au centre de l'orbite.
III. La période orbitale d'une planète augmente avec le rayon moyen de son orbite.
IV. Les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques, le Soleil étant l'un des foyers.
V. La vitesse d'une planète est plus élevée dans l'aphélie.
cocher l'alternative corriger.
a) Seules les affirmations I, II et III sont vraies.
b) Seuls les énoncés II, III et V sont vrais.
c) Seuls les énoncés I, III et IV sont vrais.
d) Seuls les énoncés III, IV et V sont vrais.
e) Seuls les énoncés I, III et V sont vrais.
Modèle: Lettre C
Résolution:
Regardons les alternatives :
JE - RÉEL. Lorsque la planète approche du périhélie, sa vitesse de translation augmente, en raison du gain d'énergie cinétique.
II - FAUX. Les orbites planétaires sont elliptiques, le Soleil occupant l'un de leurs foyers.
III - RÉEL. La période orbitale est proportionnelle au rayon de l'orbite.
IV - RÉEL. Cette affirmation est confirmée par l'énoncé de la première loi de Kepler.
V - FAUX. La vitesse d'une planète est la plus élevée près du périhélie.
Question 3) (phew) De nombreuses théories sur le système solaire ont suivi, jusqu'à ce que, au 16ème siècle, le polonais Nicolas Copernic présente une version révolutionnaire. Pour Copernic, le Soleil, et non la Terre, était le centre du Système. Actuellement, le modèle accepté pour le système solaire est essentiellement celui de Copernic, avec des corrections proposées par l'Allemand Johannes Kepler et les scientifiques ultérieurs.
Sur la gravitation et les lois de Kepler, considérez les déclarations suivantes, vrai (Je vais faux (F).
JE. En adoptant le Soleil comme référence, toutes les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques, le Soleil étant l'un des foyers de l'ellipse.
II. Le vecteur de position du centre de masse d'une planète du système solaire, par rapport au centre de masse de la Soleil, balaie des zones égales à des intervalles de temps égaux, quelle que soit la position de la planète dans votre orbite.
III. Le vecteur position du centre de masse d'une planète du système solaire, par rapport au centre de masse du Soleil, balaie des zones proportionnelles à intervalles de temps égaux, quelle que soit la position de la planète dans son orbite.
IV. Pour toute planète du système solaire, le quotient du cube du rayon moyen de l'orbite et du carré de la période de révolution autour du Soleil est constant.
cocher l'alternative CORRIGER.
a) Toutes les affirmations sont vraies.
b) Seules les affirmations I, II et III sont vraies.
c) Seuls les énoncés I, II et IV sont vrais.
d) Seuls les énoncés II, III et IV sont vrais.
e) Seules les affirmations I et II sont vraies.
Modèle: Lettre C
Résolution:
JE. VRAI. L'énoncé est l'énoncé même de la première loi de Kepler.
II. VRAI. L'énoncé coïncide avec la définition de la deuxième loi de Kepler.
III. FAUX. La détermination de la deuxième loi de Kepler, qui découle du principe de conservation du moment cinétique, implique que les surfaces balayées sont égales pour des intervalles de temps égaux.
IV. VRAI. La déclaration reproduit la troisième déclaration de loi de Kepler, également connue sous le nom de loi des périodes.
Par moi Rafael Helerbrock
