LES loi du cosinus est relation trigonométrique utilisé pour relier les côtés et angles sur une Triangle tout, c'est-à-dire ce triangle qui n'a pas nécessairement un angle droit. Notez le triangle ABC suivant avec les mesures en surbrillance :
LES droitDecosinus peut être donné par l'un des suivants expressions:
le2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
B2 = le2 + c2 – 2·a·c·cosβ
ç2 = b2 + le2 – 2·b·a·cosθ
Observation: Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces trois formules. Sachez simplement que le droitDecosinus peut toujours être construit. Notez, dans la première expression, que est l'angle opposé au côté dont la mesure est donnée par le. Nous commençons la formule avec le carré du côté opposé de l'angle qui sera utilisé dans les calculs. Il sera égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit des deux côtés qui ne sont pas opposés à cet angle par le cosinus de .
De cette façon, les trois formules ci-dessus peuvent être réduites à :
le2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Tant qu'on sait que "
Le" est la mesure du côté opposé de "α", et que "b" et "c" sont les mesures des deux autres côtés du Triangle.Manifestation
Compte tenu du Triangle Tout ABC, avec les mesures mises en évidence dans la figure suivante :
Considérons les triangles ABD et BCD formés par la hauteur BD du triangle ABC. En utilisant le théorème de Pythagore dans ABD, nous aurons :
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - X2
En utilisant le même théorème pour le Triangle BCD, nous aurons :
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le2 = oui2 + h2
H2 = le2 - oui2
Sachant qu'il y a2 = c2 - X2, nous aurons:
ç2 - X2 = le2 - oui2
ç2 - X2 + oui2 = le2
le2 = c2 - X2 + oui2
Remarque dans l'image de Triangle où b = x + y, où y = b – x. En substituant cette valeur dans le résultat obtenu précédemment, nous aurons :
le2 = c2 - X2 + oui2
le2 = c2 - X2 + (b - x)2
le2 = c2 - X2 + b2 – 2bx + x2
le2 = c2 + b2 – 2bx
En regardant toujours la figure, remarquez que :
cosα = X
ç
c·cosα = x
x = c·cosα
En remplaçant ce résultat dans l'expression précédente, nous aurons :
le2 = c2 + b2 – 2bx
le2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
C'est exactement la première des trois expressions présentées ci-dessus. Les deux autres peuvent être obtenus de manière analogue à celui-ci.
Exemple - Au Triangle puis calculez la mesure de x.
Solution:
En utilisant le droitDecosinus, notez que x est la mesure du côté opposé à l'angle de 60°. Par conséquent, le premier "nombre" à apparaître dans la solution devrait être celui-ci :
X2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
X2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
X2 = 200 - 200·cos60°
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± 100
x = ± 10
Comme il n'y a pas de longueurs négatives, le résultat ne doit être que la valeur positive, c'est-à-dire x = 10 cm.
par Luiz Moreira
Diplômé en Mathématiques
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SILVA, Luiz Paulo Moreira. « Qu'est-ce que la loi du cosinus? »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Consulté le 27 juin 2021.
