Mesures de dispersion: variance et écart type

Dans l'étude de Statistique, nous avons quelques stratégies pour vérifier si les valeurs présentées dans un ensemble de données sont dispersées ou non et à quelle distance elles peuvent être. Les outils utilisés pour rendre cela possible sont classés comme mesures de dispersion et a appelé variance et écart type. Voyons ce que chacun d'eux représente :

Variance:

• Étant donné un ensemble de données, la variance est une mesure de la dispersion qui montre à quelle distance chaque valeur de cet ensemble est de la valeur centrale (moyenne).

• Plus la variance est petite, plus les valeurs sont proches de la moyenne; mais plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.

• Considérez que X₁, X₂, …, X_nonIls sont les non éléments d'un goûter est-ce X et la moyenne arithmétique de ces éléments. Le calcul de écart d'échantillon Il est donné par :

  Var. échantillon = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_non – X)²
  ​n - 1

• Si, par contre, on veut calculer le variance de la population, nous considérerons tous les éléments de la population, pas seulement un échantillon. Dans ce cas, le calcul a une petite différence. Regarder:

  Var. population = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_non – X)²
  non

Écart-type:

• L'écart type est capable d'identifier "l'erreur" dans un ensemble de données, si l'on voulait remplacer l'une des valeurs collectées par la moyenne arithmétique.

• L'écart type apparaît à côté de la moyenne arithmétique, informant de la « fiabilité » de cette valeur. Il se présente comme suit :

  moyenne arithmétique (X) ± écart type (sd)

• Le calcul de l'écart type se fait à partir de la racine carrée positive de la variance. Par conséquent:

  dp = var

Appliquons maintenant le calcul de la variance et de l'écart type dans un exemple :

Dans une école, le conseil a décidé d'examiner le nombre d'élèves qui ont toutes les notes au-dessus de la moyenne dans toutes les matières. Pour mieux l'analyser, la directrice Ana a décidé de constituer un tableau avec le nombre de notes « bleues » dans un échantillon de quatre classes sur une année. Voir ci-dessous le tableau organisé par le principal :

Avant de calculer l'écart, il est nécessaire de vérifier la moyenne arithmétique(X) le nombre d'élèves supérieurs à la moyenne dans chaque classe :

6ème année → X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7e année → X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8e année → X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9e année → X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Pour calculer la variance du nombre d'élèves au-dessus de la moyenne dans chaque classe, nous utilisons un goûter, c'est pourquoi nous utilisons la formule de écart d'échantillon:

Var. échantillon = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_non – X)²
n - 1

6ème année → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7e année → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8e année → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9e année → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Une fois la variance de chaque classe connue, calculons maintenant l'écart type :

6ème année dp = var dp = √4.33 ​dp 2,08

7e année dp = var dp = √8.00 ​dp 2,83

8e année dp = var dp = √6.91 ​dp 2,63

9e année dp = var dp = √13,66 ​dp 3,70

Pour compléter son analyse, la directrice peut présenter les valeurs suivantes qui indiquent le nombre moyen d'élèves au-dessus de la moyenne par classe enquêtée :

6ème année: 7,50 ± 2,08 étudiants au dessus de la moyenne par trimestre ;
7e année: 8,00 ± 2,83 étudiants au-dessus de la moyenne tous les deux mois ;
8e année: 8,75 ± 2,63 élèves au-dessus de la moyenne tous les deux mois ;
9e année: 8,50 ± 3,70 élèves au-dessus de la moyenne tous les deux mois ;

Une autre mesure de la dispersion est la coefficient de variation. Voir ici comment le calculer !

Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm