Que sont les nombres complexes ?

Jusqu'au milieu du XVIe siècle, des équations comme x² – 6x + 10 = 0 étaient simplement considérés comme « pas de solution ». En effet, selon la formule de Bhaskara, lors de la résolution de cette équation, le résultat trouvé serait :

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Le problème a été trouvé dans – 4, qui n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire non il existe un nombre réel qui, multiplié par lui-même, donne √– 4, puisque 2,2 = 4 et (–2)(–2) = 4.

En 1572, Rafael Bombelli était occupé à résoudre l'équation x³ – 15x – 4 = 0 en utilisant la formule de Cardano. Grâce à cette formule, on conclut que cette équation n'a pas de racines réelles, car il faut finalement calculer √-121. Cependant, après quelques tentatives, il est possible de trouver que 4³ – 15·4 – 4 = 0 et donc que x = 4 est une racine de cette équation.

Considérant l'existence de racines réelles non exprimées par la formule de Cardano, Bombelli a eu l'idée de supposer que √– 121 donnerait √(– 11·11) = 11·√– 1 et cela pourrait être une racine « irréelle » pour l'équation étudié. Ainsi, √-121 ferait partie d'un nouveau type de nombre qui constitue les autres racines non trouvées de cette équation. Donc l'équation x

³ – 15x – 4 = 0, qui a trois racines, aurait x = 4 comme racine réelle et deux autres racines appartenant à ce nouveau type de nombre.

À la fin du 18e siècle, Gauss a nommé ces nombres comme nombres complexes. A cette époque, les nombres complexes prenaient déjà la forme a + bi, avec i = – 1. Par ailleurs, le et B ils étaient déjà considérés comme des points d'un plan cartésien, connu sous le nom de plan d'Argand-Gauss. Ainsi, le nombre complexe Z = a + bi avait pour représentation géométrique un point P (a, b) du plan cartésien.

Par conséquent, l'expression «nombres complexes» a commencé à être utilisé en référence à l'ensemble numérique dont les représentants sont: Z = a + bi, avec i = √– 1 et avec le et B appartenant à l'ensemble des nombres réels. Cette représentation est appelée la forme algébrique du nombre complexe Z.

Puisque les nombres complexes sont formés de deux nombres réels et que l'un d'eux est multiplié par √– 1, ces nombres réels ont reçu un nom spécial. Considérant le nombre complexe Z = a + bi, a est la "partie réelle de Z" et b est la "partie imaginaire de Z". Mathématiquement, on peut écrire respectivement: Re (Z) = a et Im (Z) = b.

L'idée de module d'un nombre complexe se cristallise de manière analogue à l'idée de module d'un nombre réel. En considérant le point P(a, b) comme une représentation géométrique du nombre complexe Z = a + bi, la distance entre le point P et le point (0,0) est donnée par :

|Z| = √(Le² + b²)

Une deuxième façon de représenter les nombres complexes consiste à Forme polaire ou trigonométrique. Cette forme utilise le module d'un nombre complexe dans sa constitution. Le nombre complexe Z, algébriquement Z = a + bi, peut être représenté avec la forme polaire par :

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

Il est intéressant de noter que le plan cartésien est défini par deux lignes orthogonales, appelées axes x et y. Nous savons que les nombres réels peuvent être représentés par une ligne sur laquelle sont placés tous les nombres rationnels. Les espaces restants sont remplis de nombres irrationnels. Alors que les nombres réels sont tous sur la ligne connue sous le nom Axe X du plan cartésien, tous les autres points appartenant à ce plan seraient la différence entre les nombres complexes et les nombres réels. Ainsi, l'ensemble des nombres réels est contenu dans l'ensemble des nombres complexes.

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm