O volume de la pyramide est calculé en multipliant la surface de base et la hauteur, en divisant par trois. Pour calculer le volume de la pyramide, il faut savoir quel polygone forme la base de cette pyramide, Voilà pourquoi, pour chaque base, nous utilisons une formule différente pour trouver le votre surface. On peut rapporter le volume du prisme au volume d'une pyramide de même hauteur et aire que la base, puisque le volume de la pyramide est égal au tiers du volume du prisme.
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Comment est calculé le volume de la pyramide ?
Le volume de la pyramide peut être calculé par une formule qui dépend directement de la polygone qui constitue la base. Pour calculer le volume d'une pyramide, nous utilisons la formule suivante:
V → volume
LESB → zone à la base de la pyramide
H → hauteur de la pyramide
La base d'une pyramide peut être formée par n'importe quel polygone., on peut donc avoir une pyramide à base triangulaire, une pyramide à base carrée et une pyramide à base hexagonale. Quoi qu'il en soit, n'importe quel polygone peut être la base de la pyramide, et comme c'est un polygone, pour calculer l'aire de sa base, il existe une formule spécifique.
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pyramide à base carrée
Dans une pyramide à base carrée, on sait que l'aire de la carré est calculé par la longueur du côté carré, c'est-à-dire A = là². Ainsi, pour calculer le volume d'une pyramide carrée, nous calculons le produit du carré du bord de la base et de la hauteur de la pyramide, et divisons par trois. Voir un exemple ci-dessous.
Exemple:
Calculez le volume de la pyramide ci-dessous, sachant que sa base est formée par un carré :
Dans la pyramide, la hauteur h mesure 6 cm et le bord de sa base mesure 3 cm.
Puis, on va d'abord calculer l'aire de la base AB. L'aire du carré est égale à là², il faut donc :
LESB = là²
LESB = 3²
LESB = 9cm²
Maintenant que nous connaissons la valeur de la surface de base, remplacez simplement la mesure de la hauteur et la mesure de la surface de base dans la formule du volume de la pyramide :
Pyramide à base triangulaire
Lorsque la base de la pyramide est triangulaire, pour calculer l'aire de la base, on utilise la formule de aire d'un triangle, qui est égal au produit de la base et de la hauteur divisé par deux.
Exemple:
Sachant que la pyramide suivante mesure 9 cm de haut, calculez son volume :
Comme la base est un Triangle, nous allons d'abord calculer l'aire de la base, qui est la longueur de la base multipliée par la longueur de la hauteur du triangle qui forme la base, en divisant par deux.
Maintenant que l'on connaît la valeur de l'aire de base, il devient possible de calculer le volume de cette pyramide :
Exemple 2:
Lorsque la base de la pyramide est un triangle équilatéral, on peut utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral pour calculer l'aire de la base.
Nous allons calculer le volume d'une pyramide dont la base est un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 8 cm, et sa hauteur mesure 15 cm.
Nous calculons d'abord l'aire de la base, car il s'agit d'un triangle équilatéral, nous utiliserons la formule de l'aire d'un triangle équilatéral.
Calculons maintenant le volume :
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Pyramide à base hexagonale
Dans la pyramide à base hexagonale, pour calculer la surface de base, nous utilisons la formule de la surface hexagonale.
Exemple:
Calculez le volume de la pyramide sachant que sa base est un hexagone régulier :
Nous allons d'abord calculer l'aire de l'hexagone :
Calculons maintenant le volume :
Relation entre le volume de la pyramide et le volume du prisme
donné un prisme et une pyramide de même base, on sait que la volume du prisme est égal au produit de la surface de base et de la hauteur, et le volume de la pyramide est le produit de la surface de base et de la hauteur divisé par trois, donc si la surface de base est la même, le volume de la pyramide ce sera égal à 1/3 du volume du prisme.
exercices résolus
Question 1 - Cherchant à innover dans la conception des emballages, une industrie cosmétique a décidé de produire des emballages en forme de pyramide à base carrée pour sa nouvelle crème hydratante. La base de cette pyramide a la forme d'un carré de côtés mesurant 6 cm. Sachant que cette crème hydratante doit contenir 200 ml, la hauteur de la pyramide doit être d'environ :
A) 15,2 cm
B) 15,8 cm
C) 16,4 cm
D) 16,7 cm
E) 17,2 cm
Résolution
Variante D
Nous savons que 200 ml est égal à 200 cm³, nous avons donc V = 200. Donc, en calculant l'aire de base, qui est un carré, nous devons :
LESB = l²
LESB = 6²
LESB = 36cm²
Faisons maintenant que le volume soit égal à 200 cm³, il faut donc :
Question 2 - (Enem) Une usine produit des bougies de paraffine quadrangulaires régulières en forme de pyramide d'une hauteur de 19 cm et d'un bord de base de 6 cm. Ces bougies sont formées de 4 blocs de même hauteur — 3 troncs de pyramide à bases parallèles et 1 pyramide au sommet — espacés de 1 cm, étant que la base supérieure de chaque bloc est égale à la base inférieure du bloc superposé, avec une tige de fer passant par le centre de chaque bloc, les joignant, comme indiqué sur la figure.
Si le propriétaire de l'usine décide de diversifier le modèle, en supprimant la pyramide du haut, qui fait 1,5 cm bord à la base, mais en gardant le même moule, combien va-t-il dépenser en paraffine pour fabriquer un bougie?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Résolution
Variante B
Calculons la différence entre la plus grande pyramide (V) et la plus petite pyramide (V2).
Nous savons qu'il y a 1 cm de distance entre les blocs, donc la hauteur de la plus grande pyramide est de 19 – 3 = 16 cm. La plus grande pyramide est à 6 cm de la base, car la base est un carré, donc AB = l² = 6² = 36.
Ainsi, le volume de la plus grande pyramide est :
Pour trouver la hauteur de la plus petite pyramide, divisons la hauteur totale par 4, donc 16: 4 = 4 cm. En faisant de même avec le bord, nous obtenons 6: 4 = 1,5.
Ainsi, l'aire de la base de la plus petite pyramide est de 1,5² = 2,25. En calculant le volume, il faut :
Maintenant, nous trouvons la différence entre les volumes:
192 - 3 = 189 cm³
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm
