Dans l'étude des nombres complexes, nous rencontrons l'égalité suivante: i2 = – 1.
La justification de cette égalité est généralement associée à la résolution d'équations du 2e degré avec des racines carrées négatives, ce qui est une erreur. L'origine de l'expression je2 = – 1 apparaît dans la définition des nombres complexes, une autre question qui soulève également beaucoup de doute. Comprenons la raison d'une telle égalité et comment elle se produit.
Tout d'abord, faisons quelques définitions.
1. Une paire ordonnée de nombres réels (x, y) est appelée nombre complexe.
2. Nombres complexes (x1oui1) et (x2oui2) sont égaux si et seulement si x1 = x2 Andy1 = oui2.
3. L'addition et la multiplication de nombres complexes sont définies par :
(X1oui1) + (x2oui2) = (x1 + x2oui1 + oui2)
(X1oui1)*(X2oui2) = (x1*X2 - oui1*y2, X1*y2 + oui1*X2)
Exemple 1. Considérez z1 = (3, 4) et z2 = (2, 5), calculer z1 + z2 et z1*z2.
Solution:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
En utilisant la troisième définition, il est facile de montrer que :
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0)*(x2, 0) = (x1*X2, 0)
Ces égalités montrent qu'en ce qui concerne les opérations d'addition et de multiplication, les nombres complexes (x, y) se comportent comme des nombres réels. Dans ce contexte, on peut établir la relation suivante: (x, 0) = x.
En utilisant cette relation et le symbole i pour représenter le nombre complexe (0, 1), nous pouvons écrire n'importe quel nombre complexe (x, y) comme suit :
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → qui est l'appel de forme normale d'un nombre complexe.
Ainsi, le nombre complexe (3, 4) sous forme normale devient 3 + 4i.
Exemple 2. Écris les nombres complexes suivants sous forme normale.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Remarquons maintenant que nous appelons i le nombre complexe (0, 1). Voyons ce qui se passe lors de la création d'i2.
On sait que i = (0, 1) et que i2 = i*i. Suivez ça :
je2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
En utilisant la définition 3, nous aurons :
je2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Comme nous l'avons vu précédemment, tout nombre complexe de la forme (x, 0) = x. Ainsi,
je2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Nous sommes arrivés à la fameuse égalité i2 = – 1.
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Nombres complexes - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm
