On peut classer un système linéaire de trois manières :
• SPD – Système possible déterminé; il n'y a qu'un seul ensemble de solutions ;
• SPI – Système indéterminé impossible; il existe de nombreux ensembles de solutions ;
• SI – Système impossible; il n'est pas possible de déterminer un ensemble de solutions.
Cependant, bien souvent, nous ne sommes capables de classer les systèmes que lorsque nous sommes dans la phase finale de résolution de chacun, ou même en calculant le déterminant. Cependant, lorsque nous effectuons la mise à l'échelle d'un système linéaire, nous avançons à grands pas vers l'obtention de l'ensemble de solutions et de la classification du système linéaire.
Cela se produit parce que le système à l'échelle linéaire a un moyen rapide d'obtenir les valeurs des inconnues, car il essaie d'écrire chaque équation avec un plus petit nombre d'inconnues.
Pour classer le système linéaire mis à l'échelle, il suffit d'analyser deux éléments.
1.La dernière ligne du système qui est entièrement mise à l'échelle ;
2.Le nombre d'inconnues par rapport au nombre d'équations données dans le système.
Au premier Dans ce cas, les situations suivantes peuvent se produire :
• Une équation du premier degré avec une inconnue, le système sera SPD. Exemple: 2x=4; 3y=12; z=1
• Égalité sans inconnues: il y a deux possibilités, des égalités vraies (0=0; 1=1;…) et faux égal (1 = 0; 2 = 8). Lorsque nous aurons de vrais égaux, nous classerons notre système comme SPI, tandis qu'avec de fausses équations, notre système sera impossible (SI).
• Équation à coefficient nul. Dans ce cas, il existe également deux possibilités, l'une dans laquelle le terme indépendant est nul et l'autre dans laquelle il ne l'est pas.
• Lorsque nous avons une équation avec des coefficients nuls et un terme indépendant nul, nous classerons notre système comme SPI, car nous aurons des valeurs infinies qui satisferont cette équation, vérifiez ceci: 0.t = 0
Quelle que soit la valeur placée dans l'inconnu t, le résultat sera zéro, puisque tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro. Dans ce cas, on dit que l'inconnue t est une inconnue libre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur, donc nous lui attribuons une représentation de toute valeur, ce qui en mathématiques se fait par une lettre.
• Lorsqu'on a une équation de coefficients nuls et de terme indépendant différent de zéro, nous classerons notre système comme SI, car pour toute valeur que t prend, il ne sera jamais égal à Valeur souhaitée. Voir un exemple :
0.t = 5
Quelle que soit la valeur de t, le résultat sera toujours nul, c'est-à-dire que cette équation sera toujours de la forme (0 = 5), quelle que soit la valeur de l'inconnue t. Pour cette raison, nous disons qu'un système qui a une équation de cette manière est un système insoluble et impossible.
Au deuxième Dans ce cas, lorsque le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations, nous n'aurons jamais de système possible et déterminé, ne nous laissant que les deux autres possibilités. Ces possibilités peuvent être obtenues en effectuant la comparaison mentionnée dans les rubriques précédentes. Regardons deux exemples qui couvrent ces possibilités :
Notez qu'aucun des systèmes n'a été mis à l'échelle.
Planifions le premier système.
En multipliant la première équation et en l'ajoutant à la seconde, on a le système suivant :
En analysant la dernière équation, nous voyons qu'il s'agit d'un système impossible, car nous ne pouvons jamais trouver une valeur qui satisfasse l'équation.
Mise à l'échelle du deuxième système :
En regardant la dernière équation, c'est un système possible indéterminé.
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificando-as-solucoes-um-sistema-linear-escalonado.htm
