Trigonometria on kreikkalaista alkuperää oleva sana, joka viittaa kolmen kulman mittaan. Tämän matematiikan opinnot keskittyvät kolmiot, jotka ovat polygoneja, joilla on kolme sivua ja siten kolme kulmaa. Aluksi trigonometria se pyrkii tutkimaan suorakulmioiden joitain ominaisuuksia ja suhteita, jotta kolmioiden sivujen mitat voidaan myöhemmin liittää kulmien mittauksiin.
Nämä ominaisuudet ja suhteet laajennetaan mihin tahansa kolmioon lauseilla, jotka tunnetaan nimellä syntien laki ja kosinilaki. Myöhemmin joitain näistä tuloksista havaitaan kolmioissa, joiden sivut ovat merkittäviä ympyrän segmenttejä, joka tunnetaan nimellä "trigonometrinen ympyrä".
THE trigonometria ehdottaa suurta uutuutta. Ennen sitä oli mahdollista tarkastella vain laskelmia ja ominaisuuksia, jotka koskivat yksinomaan kolmion sivuja tai yksinomaan kulmia tai näiden elementtien välisiä perussuhteita. Saapuessaan on mahdollista yhdistää suoraan kolmion sivujen mitat yhden sen kulman mittaukseen. On huomionarvoista, että myös kolmion merkittävien sivujen ja segmenttien väliset suhteet muodostavat trigonometria.
Ennen syventymistä käsitteeseen trigonometria, On tärkeää tietää, mitkä ovat suorakulmion tärkeimmät elementit. Nämä elementit on esitetty alla:
Suorakulmion elementit
Jokainen suorakulmio voidaan jakaa kahteen muuhun suorakolmioon, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty, jäljittämällä korkeus "h" suhteessa pohjaan "a".
Tämän suorakulmion korkeus muodostaa kaksi 90 ° kulmaa pohjaansa nähden
Kun otetaan huomioon kolmio ABD, suorakulmio B: ssä, on mahdollista tarkkailla seuraavia elementtejä:
1 - Sivuja AB ja BD kutsutaan sivuiksi ja niiden mitat ovat vastaavasti c ja b;
2 - AD-puolta kutsutaan hypotenukseksi ja sen mittaus on a. Tämä sivu on aina 90 ° kulmaa vastapäätä;
3 - BE on kolmion ABD korkeus suhteessa pohjaan AD ja sen mittaus on h. (muistaen, että korkeus muodostaa aina 90 ° kulman alustaan nähden);
4 - AE on AB-jalan kohtisuora projektio hypotenuusan yli. Sen mitta on m;
5 - ED on BD-jalan kohtisuora projektio hypotenuusan yli. Sen mitta on n.
Seuraavaksi esittelemme ja keskustelemme eräistä trigonometriassa havaituista ominaisuuksista, jotka perustuvat yllä olevan suorakulmion elementteihin.
Metriset suhteet oikeassa kolmiossa
Ne ovat tasa-arvoja, jotka liittyvät suorakulmion sivuihin, korkeuteen ja kohtisuoriin projektioihin:
1) c2 = keskiarvo
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = ei
5)2 = b2 + c2 (Pythagoraan lause)
Trigonometriset suhteet tai suorakulmion suhteet
Nämä tasa-arvot koskevat suorakulmion sivujen välisiä suhteita yhteen sen terävistä kulmista. Tätä varten on tarpeen kiinnittää yksi kahdesta kulmasta ja tarkkailla suorakulmiossa vastakkaisen ja viereisen puolen määritelmiä:
Suorakulmion kolmio, joka korostaa α-kulmaa
BD on vastakkainen jalka kulmaan a;
AB on viereinen jalka kulmaan α.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Nämä ovat edellytykset määritellä trigonometriset suhteet. Ovatko he:
→ α: n sini
sin α = Kateetus α: ta vastapäätä
Hypotenuusa
→ a: n kosini
cos a = Kateto a: n vieressä
Hypotenuusa
→ α: n tangentti
tg a = Kateetus α: ta vastapäätä
Kateto a: n vieressä
Nämä syyt koskevat kaikkia suorakulmainen kolmio jonka terävä kulma on yhtä suuri kuin α. Näiden jakojen tulos on aina sama, riippumatta kolmion sivun pituudesta, kuten kaksi kolmiota, joilla on kaksi yhtä suurta kulmaa, johtuen kolmion kaltainen kulma-kulma, on suhteelliset sivut. Tästä seuraa, että sivujen välinen suhde on sama.
trigonometrinen ympyrä
Kutsutaan myös trigonometriseksi sykliksi tai trigonometriseksi ympyräksi (oikeampi mutta vähemmän yleinen nimi), se on suuntautunut ympyrä, jonka säde on 1. Tällä kehällä a suorakulmainen kolmio, jonka kulma α yhtyy alkupisteeseen, niin että tämän kolmion korkeus menee abscissa-akselista ympyrän reunaan.
Tämä korkeus on sama kuin arvo sini, koska se on kulman α vastakohta. Mitta, joka kulkee pisteestä, jossa korkeus kohtaa absciksen akselin alkupisteeseen, osuu kulman α vieressä olevaan sivuun, ts. kosini.
Nämä sattumat tapahtuvat, koska hypotenuusi on aina 1, koska se on ympyrän säde. Huomaa nämä ominaisuudet alla olevassa kuvassa:
Säde 1, johon suorakulmainen kolmio sijoitetaan sen ominaisuuksien arvioimiseksi
Mikä tahansa suorakulmio, joka on rakennettu tälle ympyrälle, sivu, joka osuu yhteen abscissa-akselin mittaa tarkalleen a: n kosiniarvon ja toinen puoli tarkalleen sinin α.
Trigonometriset toiminnot
Trigonometrisen ympyrän avulla on mahdollista määritellä trigonometriset toiminnot jotka yhdistävät reaalilukujoukon kunkin elementin myös reaalilukujoukon yksittäiseen elementtiin. Nämä luvut ilmaistaan kuitenkin radiaaneina, mikä on mittayksikkö käytetyn π: n funktiona, koska 360 °: n jälkeen trigonometrinen ympyrä, asteiden ja siten siihen perustuvan funktion toimialueen ja vasta-alueen elementtien laskenta voidaan aloittaa uudelleen nollasta.
perussuhteet
Trigonometrian perussuhteet ovat:
1) perussuhde 1
Sen2a + cos2α = 1
2) tangentti α
tg a = sin a
cos a
3) Kotangentti α, joka on a: n tangentin käänteinen
cotg α = cos a
sin a
4) Secant of α, joka on a: n kosinin käänteinen
sek. a = 1
cos a
5) a: n kasekantti, joka on käänteinen a: n siniin
cossec α = 1
sin a
6) Suhde syntyy 1
tg2a + 1 = sek2α
7) Suhde 2
cotg2a + 1 = cossec2α
8) Toistuva suhde 3
cotg α = 1
tg a
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Mikä on trigonometria?"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm. Pääsy 27. kesäkuuta 2021.
funktio, trigonometrinen funktio, tangentti, kosini, sini, kosekantti, kotangentti, kaari, kulmat, kaari, trigonometrisen funktion arvo, kulman ja trigonometrisen funktion suhde, suhteet johdannaiset.
radiaani, kulma, aste, ympyrä, kaari, ympyrän kaari, muutos asteesta radiaaniksi, Määritelmä radiaani, kulmamitta, kaarimitta, ympärysmitta radiaaneina, pituus ympärysmitta.
