Yhtälö: mikä se on, peruskäsitteet, tyypit, esimerkit

Yksi yhtälö on matemaattinen lause, jolla on tasa-arvo ja ainakin yksi tuntematon, toisin sanoen kun a algebrallinen lauseke ja tasa-arvo. Yhtälöiden tutkimus vaatii ennakkotietoa, kuten numeeriset lausekkeet. Yhtälön tarkoitus on löytää tuntematon arvo joka muuttaa tasa-arvon identiteetiksi eli todelliseksi tasa-arvoksi.

Lue myös:Operaatiot murtoluvuilla - miten lasketaan?

Yhtälötutkimuksen peruskäsitteet

Yhtälö on matemaattinen lause, jolla on tuntematonainakin ja a tasa-arvo, ja voimme luokitella sen tuntemattomien lukumäärän perusteella. Katso joitain esimerkkejä:

a) 5t - 9 = 16

Yhtälöllä on tuntematon, jota edustaa kirjain t.

b) 5x + 6y = 1

Yhtälössä on kaksi tuntematonta kirjainta x ja y.

c) t⁴ - 8z = x

Yhtälössä on kolme tuntematonta kirjainta ok,z ja x.

Riippumatta yhtälöstä, meidän on otettava huomioon sinun maailmankaikkeus,koostuu kaikista mahdollisista arvoista, jotka voimme osoittaa tuntemattomille, tätä sarjaa edustaa kirjain U.

• Esimerkki 1

Tarkastellaan yhtälöä x + 1 = 0 ja sen mahdollista ratkaisua x = –1. Harkitse nyt, että kaavan universumin joukko on luonnollinen.

Huomaa, että oletettu ratkaisu ei kuulu universumijoukkoon, koska sen elementit ovat kaikki mahdolliset arvot, jotka tuntematon voi ottaa, joten x = –1 ei ole ratkaisu yhtälöön.

Tietysti, mitä enemmän tuntemattomia on, sitä vaikeampi on määrittää ratkaisusi. THE ratkaisu tai lähde Yhtälön yhtälö on joukko kaikkia arvoja, jotka tuntemattomalle osoitettuina tekevät tasa-arvon totta.

• Esimerkki 2

Tarkastellaan yhtälöä, jonka tuntematon 5x - 9 = 16, varmista, että x = 5 on yhtälön ratkaisu tai juuri.

Joten on mahdollista sanoa niin x = 5 on yhtälön ratkaisu, meidän on korvattava tämä arvo lausekkeessa, jos löydämme todellisen tasa-arvon, luku on testattu ratkaisu.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Katso, että löydetty tasa-arvo on totta, joten meillä on identiteetti ja numero 5 on ratkaisu. Joten voimme sanoa, että ratkaisusarjan antaa:

S = {5}

• Esimerkki 3

Tarkastellaan yhtälöä t² = 4 ja tarkista, ovatko t = 2 vai t = –2 ratkaisuja yhtälöön.

Vastaavasti meidän tulisi korvata t-arvo yhtälössä, mutta huomaa kuitenkin, että tuntemattomalla on kaksi arvoa, ja siksi meidän on suoritettava todentaminen kahdessa vaiheessa.

Vaihe 1 - Jos t = 2

t²= 4

2² = 4

4 = 4

Vaihe 2 - Jos t = –2

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Katso t = 2 ja t = - 2 löydämme identiteetin, joten nämä kaksi arvoa ovat ratkaisuja yhtälöön. Siten voimme sanoa, että ratkaisujoukko on:

S = {2, –2}

Yhtälötyypit

Voimme myös luokitella yhtälön asemaan, jonka tuntemattomat ovat. Katso päätyypit:

• Polynomiyhtälöt

Klo polynomiyhtälöt on ominaista polynomin ollessa nolla. Katso joitain esimerkkejä:

) 6t³+ 5t²–5t = 0

Numerot6, 5 ja –5 ovat yhtälön kertoimet.

B) 9x – 9= 0

Numerot 9 ja – 9 ovat yhtälön kertoimet.

c) y²– y – 1 = 0

Numerot 1, – 1 ja – 1 ovat yhtälön kertoimet.

• Yhtälöasteet

Polynomiyhtälöt voidaan luokitella niiden asteen mukaan. Sekä polynomit, polynomiyhtälön asteen antaa suurin teho, jolla on nollasta poikkeava kerroin.

Edellisten esimerkkien a, b ja c perusteella yhtälöiden asteet ovat:

a) 6t³ + 5t² –5t = 0 → Polynomin yhtälö kolmas aste

b) 9x - 9 = 0 → Polynomin yhtälö ensimmäisen asteen

ç) y² - y - 1 = 0 → Polynomin yhtälö lukio

Lue myös: asteen yhtälöu: kuinka lasketaan, tyypit, esimerkit

• rationaaliset yhtälöt

Rationaalille yhtälöille on ominaista, että niillä on tuntemattomat a: n nimittäjässä murto-osa. Katso joitain esimerkkejä:

Lue myös: Mitä ovat rationaaliluvut?

• irrationaaliset yhtälöt

Klo irrationaaliset yhtälöt on ominaista niiden tuntemattomat n: nnen juuren sisälläeli radikaalin sisällä, jolla on indeksi n. Katso joitain esimerkkejä:

• eksponentiaaliset yhtälöt

Klo eksponentiaaliset yhtälöt olla tuntematon eksponentissa a teho. Katso joitain esimerkkejä:

• logaritminen yhtälö

Klo logaritmiset yhtälöt on ominaista yksi tai useampi tuntematon jossakin osassa logaritmi. Näemme, että logaritmin määritelmää sovellettaessa yhtälö putoaa joissakin edellisissä tapauksissa. Katso joitain esimerkkejä:

Katso myös: Ensimmäisen asteen yhtälö tuntemattoman kanssa

Kuinka ratkaista yhtälö?

Yhtälön ratkaisemiseksi meidän on tutkittava kussakin tyypissä käytetyt menetelmät, eli jokaiselle yhtälötyypille on olemassa erilainen menetelmä mahdollisten juurien määrittämiseksi. Kuitenkin kaikki nämä menetelmät ovat johdettu vastaavuusperiaatteesta, sen avulla on mahdollista ratkaista pääyhtälötyypit.

• Vastaavuusperiaate

Toinen vastaavuusperiaate, voimme toimia vapaasti tasa-arvon toisella puolella, kunhan teemme saman tasa-arvon toisella puolella. Ymmärtämisen parantamiseksi nimeämme nämä puolet.

Siksi vastaavuusperiaate toteaa, että se on mahdollista käytä ensimmäistä raajaa vapaasti niin kauan kuin sama toimenpide suoritetaan toiselle jäsenelle.

Harkitse seuraava tasa-arvoisuusvastaavuusperiaatteen tarkistamiseksi:

5 = 5

Mennään nyt lisätä molemmin puolin numero 7, ja huomaa, että tasa-arvo on edelleen totta:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Mennään nyt vähentää 10 tasa-arvon molemmin puolin, huomaa jälleen, että tasa-arvo on edelleen totta:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

nähdä, että voimme moninkertaistua tai Jaa ja nosta arvoon a teho tai jopa poimia a lähdeniin kauan kuin se tehdään ensimmäiselle ja toiselle jäsenelle, tasa-arvo pysyy aina totta.

Yhtälön ratkaisemiseksi meidän on käytettävä tätä periaatetta yhdessä mainittujen toimintojen tuntemuksen kanssa. Yhtälöiden kehityksen helpottamiseksi jätetään pois ensimmäiselle jäsenelle tehty operaatio, vastaa sanomista, että välitämme numeron toiselle jäsenelle vaihtamalla merkin päinvastaiseen.

Ajatus yhtälön ratkaisun määrittämiseksi on aina eristää tuntematon käyttämällä vastaavuusperiaatetta, Katso:

• Esimerkki 4

Määritä ekvivalenssiperiaatteen avulla yhtälön 2x - 4 = 8 ratkaisujoukko tietäen, että universumijoukko saadaan: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Ensimmäisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseksi meidän on jätettävä tuntematon ensimmäisessä jäsenessä eristetyksi. Tätä varten otamme numeron –4 ensimmäiseltä jäseneltä lisäämällä 4 molemmille puolille, koska –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Huomaa, että tämän prosessin suorittaminen vastaa yksinkertaisesti numeron 4 välittämistä päinvastaisella merkillä. Joten eristämään tuntematon x, välitämme numero 2 toiselle jäsenelle, koska se kertoo x: n. (Muista: Kertomisen käänteinen operaatio on jako). Se olisi sama kuin jakaa molemmat osapuolet kahdella.

Siksi ratkaisusarjan antaa:

S = {6}

• Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö 2^{x + 5} = 128 tietäen, että universumijoukko on annettu U = ℝ.

Eksponentiaalisen yhtälön ratkaisemiseksi käytetään ensin seuraavaa tehostamisominaisuus:

^{m + n} =^m · A^ei

Käytämme myös sitä, että 2² = 4 ja 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

Huomaa, että molemmat puolet on mahdollista jakaa 32: lla, eli välittää numero 32 toiselle jäsenelle jakamalla.

Joten meidän on:

2^x = 4

2^x = 2²

Ainoa x: n arvo, joka tyydyttää tasa-arvon, on numero 2, joten x = 2 ja ratkaisujoukko saadaan:

S = {2}

Yhtälöitä esiintyy useilla tieteenaloilla.

Harjoitukset ratkaistu

Kysymys 1 - Harkitse asetettua universumia U = ℕ ja määritä seuraavan irrationaalisen yhtälön ratkaisu:

Resoluutio

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi meidän on huolehdittava ensimmäisen jäsenen juuren eliminoinnista. Huomaa, että tätä varten on tarpeen nostaa ensimmäinen jäsen samaan hakemistoon kuin juuri, eli kuutioon. Vastaavuusperiaatteen mukaisesti meidän on kasvatettava myös tasa-arvon toinen jäsen.

Huomaa, että meidän on nyt ratkaistava toisen asteen polynomiyhtälö. Siirretään numero 11 toiselle jäsenelle (vähennetään 11 ​​tasa-arvon molemmilta puolilta) tuntemattoman x eristämiseksi.

x² = 27 – 11

x² = 16

Määritä nyt x: n arvo, että on kaksi arvoa, jotka tyydyttävät tasa-arvon, x ’= 4 tai x’ ’= –4, kerran:

4² = 16

ja

(–4)² = 16

Huomaa kuitenkin kysymyksen lausunnossa, että annettu universumijoukko on luonnollisten lukujen joukko, eikä luku –4 kuulu siihen, joten ratkaisujoukko annetaan seuraavasti:

S = {4}

kysymys 2 - Tarkastellaan polynomiyhtälöä x² + 1 = 0 tietäen, että universumijoukko on annettu U = ℝ.

Resoluutio

Vastaavuusperiaatteen osalta vähennä 1 molemmista jäsenistä.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

Huomaa, että tasa-arvolla ei ole ratkaisua, koska maailmankaikkeusjoukko on todelliset luvut eli kaikki arvot, joiden tuntematon voi olettaa olevan todellisia, eikä ole olemassa todellista lukua, joka neliössä on negatiivinen.

1² = 1

ja

(–1)² = 1

Siksi yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalien joukossa, joten voimme sanoa, että ratkaisujoukko on tyhjä.

S = {}

kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja