Polyhedra (latinasta poly - monet - ja hedron - kasvot) ovat luvutkolmiulotteinen muodostuu säännöllisten polygonien yhdistymisestä, jossa polyhedraalikulmat ovat kaikki yhtenevät. Näiden polygonien liitos muodostaa elementit, jotka muodostavat monikulmion, ne ovat: kärjet, reunat ja kasvot. Kaikki kolmiulotteiset hahmot eivät kuitenkaan ole monikulmioita, esimerkkinä tästä ovat luvut, joiden kaarevat kasvot kutsutaan pyöreät rungot.
On matemaattinen kaava, joka yhdistää kutsutun monikulmion elementit Eulerin suhde. Lisäksi polyhedra on jaettu kahteen ryhmään: ns. Polyhedra kupera ja ei kupera. Jotkut polyhedrat ansaitsevat erityistä huomiota, heitä kutsutaan Platonin polyhedra: tetraedri, heksahedroni, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri.
Lue myös: Erot tasaisten ja paikkahahmojen välillä
kupera polyhedra
Monikulmio on kupera, kun sen muodostaa monikulmioita kupera, seuraavat ehdot hyväksytään:
- kaksi polygoneista Ei koskaan ne ovat samantasoisia, toisin sanoen ne eivät kuulu samalle tasolle.
- Näiden monikulmioiden kumpikin puoli kuuluu vain kahteen monikulmioon.
- Taso, joka sisältää minkä tahansa näistä polygoneista, jättää muut polygonit samaan puolitilaan.
Lue myös:Kuparin polygonin sisäisten ja ulkoisten kulmien summa
Kuparin monikulmion elementit
Harkitse tätä kuperaa polyhedronia:
Sinä nelikulmaiset kuvassa kutsutaan kasvot polyhedronista.
Sinä viisikulmioita ovat nimettyjen polykedron kasvot ja pohja viisikulmainen pohjan monikulmio.
Kunkin kasvon muodostavat segmentit kutsutaan reunat polyhedronista.
Pisteitä, joissa reunat kohtaavat, kutsutaan kärjet.
Linjasegmentti JC kutsutaan lävistäjä monikulmion, jota merkitään:
JC on yksi diagonaaleista, ymmärrämme lävistäjä monikulmion olevan viivasegmentti, joka yhdistää kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan.
Meillä on myös reunojen väliin muodostettu polyhedraalikulma, jota merkitään:
Monikulmaista kulmaa kutsutaan a kolmipäiväinen Kun kolme reunat ovat peräisin kärjestä. Samoin sitä kutsutaan tetraedrinen, tapauksessa neljä reunat ovat peräisin kärjestä ja niin edelleen.
Tästä lähtien luomme joitain merkintöjä, ne ovat:
Tietää enemmän: Geometristen kiintoaineiden suunnittelu
Kupera polyhedronin ominaisuudet
Ominaisuus 1
Kaikkien pintojen reunojen summa on kaksinkertainen monikulmion reunojen määrään nähden.
Esimerkki
Monikulmiossa on 6 neliön pintaa. Määritetään reunojen lukumäärä.
Ominaisuuden mukaan vain kerro kasvojen reunojen määrä kasvojen lukumäärällä, ja tämä on yhtä suuri kuin kaksinkertainen reunojen lukumäärä. Täten:
Ominaisuus 2
Kaikkien pintojen huippujen summa on yhtä suuri kuin kaikkien pintojen reunojen summa, joka on kaksinkertainen reunojen lukumäärän kanssa.
Esimerkki
Monikulmio, jossa on 5 tetraedristä kulmaa ja 4 kuusikulmaista kulmaa. Määritetään reunojen lukumäärä.
Edellisen esimerkin tapaan toinen ominaisuus sanoo, että kaikkien pintojen reunojen summa on kaksinkertainen reunojen lukumäärään. Reunojen lukumäärä saadaan 5: n ja 4: n ja 4: n 6 tulona, koska ne ovat 5 tetraedristä ja 4 kuusikulmaista kulmaa. Täten:
Kovera (kupera) polyhedra
Monikulmio on kupera tai kovera, kun otamme kaksi pistettä erillisiltä pinnoilta ja suoralta r joka sisältää nämä pisteet, ei kaikki sisälly polyhedroniin.
Huomaa, että suora viiva (sinisellä) ei ole täydellinen polyhedronissa, joten polyhedron (vaaleanpunaisella) on kovera tai kupera.
säännöllinen polyhedra
Sanomme, että monikulmio on säännöllinen milloin kasvosi ovat säännöllisiä polygoneja yhtä suuret keskenään ja polyhedraalisten kulmien kanssa.
Katso joitain esimerkkejä:
Huomaa, että kaikki kasvosi ovat säännöllisiä polygoneja. Sen kasvot muodostuvat neliöistä ja reunat ovat kaikki yhtenevät, toisin sanoen niillä on sama mitta.
lukeamyös: Mitä ovat säännölliset ja kuperat polygonit?
Eulerin suhde
Tunnetaan myös Eulerin lause, tulos todisti Leonhard Euler (1707 - 1783) ja takaa sen vuonna kaikki suljettu kupera polyhedron seuraava suhde on voimassa:
Platonin polyhedra
Mitään polyhedronia, joka täyttää seuraavat ehdot, kutsutaan Platonin polyhedroniksi:
Euler-suhde on kelvollinen
Kaikilla kasvoilla on sama määrä reunoja
Kaikilla polyhedraalisilla kulmilla on sama määrä reunoja
On osoitettu, että on vain viisi säännöllistä ja kuperaa polyhedraa tai Platonin polyhedraa, ne ovat:
säännöllinen tetraedri
tetraedrilla on 4 kolmiota yhtenevä ja 4 kolmiokulmaa yhtenevä.
säännöllinen heksahedroni
heksahedronilla on 6 neliön pintaa yhtenevä ja 8 kolmiokulmaa yhtenevä.
säännöllinen oktaedri
oktaedrilla on 8 kolmiota yhtenevä ja 6 tetraedristä kulmaa yhtenevä.
säännöllinen dodekaedri
dodekaedrilla on 12 viisikulmaista kasvoa yhtenevä ja 20 kulmaakolmipäiväinen yhtenevä.
säännöllinen ikosaedri
Ikoahedronilla on 20 kolmiota yhtenevä ja 12 viisikulmaista kulmaa yhtenevä.
ratkaisi harjoituksia
1) (vihollinen) Jalokivi leikattiin 32-puolisen kuperan monikulmion muodossa, joista 20 on kuusikulmaisia ja loput viisikulmaisia. Tämä helmi on lahja naiselle, joka juhlii syntymäpäiväänsä ja täyttää iän, jonka numero on tämän monikulmion pisteiden lukumäärä. Tämä nainen suorittaa:
a) 90 vuotta
b) 72 vuotta vanha
c) 60 vuotta vanha
d) 56 vuotta vanha
e) 52 vuotta vanha
Ratkaisu:
Antaa omaisuus 1 kuperan polyhedran tiedämme, että:
Nyt miten tiedämme reunojen määrän se on kasvojen lukumäärä, voimme käyttää Euler-relaatiota.
Koska täyttämäsi ikä on sama kuin pisteiden lukumäärä, tämä on 60 vuotta. Vaihtoehto c.
2) (PUC-SP) Kuinka monta reunaa kupera monikulmio, jossa on kolmiomaiset kasvot, joissa kärkipisteiden määrä on kolme viidesosaa pintojen lukumäärästä?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Ratkaisu:
Kuparin monikulmion ominaisuuksista ja harjoituslausekkeesta meillä on:
Kun nämä arvot korvataan Euler-suhteessa, meillä on seuraava:
Järjestämällä edellinen yhtälö ja ratkaisemalla yhtälö F: ssä, seuraa:
Korvaamalla reunojen yhtälöstä löydettyjen pintojen lukumäärän arvo on:
Vaihtoehto b
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
