O Argand-Gaussin suunnitelma se koostuu kahdesta akselista: yhdestä pystysuorasta (tunnetaan kuvitteellisesta akselista) ja toisesta vaakasuorasta (tunnetaan nimellä todellinen akseli). On mahdollista edustaa geometrisesti kompleksiluvutjotka ovat algebrallisessa muodossa.
Tämän geometrisen esityksen avulla se on mahdollista kehittää joitain käsitteitä, kuten moduuli ja argumentti kompleksiluvusta. Kompleksiluvut esitetään algebrallisesti z = a + bi, joten niitä edustavat pisteet (a, b), jota kutsutaan liitetiedoksi.
Lue myös: Kompleksilukujen geometrinen esitys
Kompleksilukujen geometrinen esitys
Monimutkainen taso, joka tunnetaan myös nimellä Argand-Gauss-taso, ei ole muuta kuin aKartesian taso kompleksiluvuille. Argand-Gauss-tasossa on mahdollista esittää kompleksiluku pisteenä, joka tunnetaan liitoksena. Monimutkaisen suunnitelman kehittämisen myötä on olemassa kehittäminen analyyttinen geometria kompleksiluvuille, jonka avulla voidaan kehittää tärkeitä käsitteitä, kuten moduuli ja argumentti.
Algebrallisessa muodossaan esitetty kompleksiluku on z = a + bi, mistä on todellinen osa ja B on kuvitteellinen osa. Siksi, kompleksiluvut esitetään pisteinä (a, b). Argand-Gauss-tasossa vaaka-akseli on todellisen osan akseli ja pystyakseli on kuvitteellisen osan akseli.
Kiinnittää
O piste tasossa, joka edustaa kompleksilukua sitä kutsutaan myös lisäykseksi. Esitystapoja on kolme: kuvitteelliset kiinnitykset, todelliset kiinnitykset ja puhtaat kuvitteelliset kiinnitykset.
kuvitteelliset kiinnitykset
Kiinnitys tunnetaan kuvitteellisena, kun kompleksiluvulla on molemmat a todellinen osa ja kuvitteellinen osa ei nolla. Tällöin kiinnitys on piste missä tahansa neljästä kvadrantista, riippuen a: n, b: n arvoista ja niiden vastaavista merkeistä.
Esimerkki:
Katso kompleksilukujen esitys z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i ja z4= 1 - 4i.
Katso myös: Ominaisuudet, joihin sisältyy kompleksilukuja
puhtaat kuvitteelliset kiinnitykset
Kompleksiluku tunnetaan puhtaana kuvitteellisena, kun todellinen osa on nollaeli z = bi. Huomaa, että tässä tapauksessa ensimmäinen koordinaatti on aina nolla, joten työskentelemme tyypin (0, b) pisteiden kanssa. Kun merkitset Argand-Gauss-tasossa, aina puhdas kuvitteellinen kiinnitys on piste, joka kuuluu kuvitteelliseen akseliineli pystysuoraan akseliin.
Esimerkki:
Katso kompleksilukujen esitys z1 = 2i ja z2= -3i.
todelliset kiinnitykset
Kompleksiluku luokitellaan a oikea numerokun sinun kuvitteellinen osa on nollaeli z = a. Tässä tapauksessa toinen koordinaatti on aina nolla, joten työskentelemme tyypin (a, 0) pisteiden kanssa, joten kuvitteellinen osa on nolla ja kiinnitykset sisältyvät kompleksitason todelliseen akseliin.
Esimerkki:
Katso kompleksilukujen esitys z1 = 2 ja z2 = -4.
Monimutkainen numeromoduuli
Kun edustat kompleksilukua, olkoon P (a, b) kompleksiluvun z = a + bi kiinnitys. Tunnemme kompleksiluvun a moduulin etäisyys pisteestä P lähtöpaikkaan. Kompleksiluvun z moduulia edustaa | z |. | Z |: n arvon löytämiseksi käytämme Pythagoraan lause.
| z | ² = a² + b²
Voimme edustaa myös:
Esimerkki:
Selvitä kompleksiluvun moduuli z = 12-5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Pääsy myös: Mitä ovat rationaaliluvut?
kompleksilukuargumentti
Tiedämme miten Perustelu kompleksiluvusta O kulma θ, jonka muodostaa vektori OP ja todellinen akseli. Luvun argumenttia edustaa arg (z) = θ.
Kulman löytämiseksi käytämme trigonometriset suhteet sini ja kosini.
Löydä argumentin arvo tietäen sinus ja kosini, vain katso näiden trigonometristen suhteiden arvotaulukkoa. Yleensä tämän aiheen yliopistokokeissa argumentti on a merkittävä kulma.
Esimerkki:
Etsi kompleksilukuperuste z = 1 + i.
Lasketaan ensin z: n moduuli.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Tietäen | z | voimme laskea sini ja kosini kulmasta.
Kulma, jolla on sini ja kosini löydettyjen arvojen kanssa, on 45º.
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Mikä on kompleksiluvun z = √3 + i argumentti?
A) 30. päivä
B) 45. sija
C) 60
D) 90 astetta
E) 120.
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Tiedämme, että a = √3 ja b = 1, joten:
Kysymys 2 - Seuraavassa monimutkaisessa suunnitelmassa on esitetty joitain lukuja. Suunnitelmaa analysoitaessa voidaan sanoa, että pisteet edustavat puhtaita kuvitteellisia lukuja:
A) M, N ja I.
B) P ja I.
C) L ja G.
D) O, I, G.
E) K, J ja L.
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Puhtaan kuvitteellisen luvun tunnistamiseksi kompleksitasossa on välttämätöntä, että se on pystysuoran akselin päällä, jotka tässä tapauksessa ovat pisteitä P ja I.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
