trigonometrinen ympyrä on ympyrä, jonka säde on 1 Kartesian taso. Siinä vaaka-akseli on kosini-akseli ja pystyakseli on siniakseli. Sitä voidaan kutsua myös trigonometriseksi sykliksi.
Sitä käytetään trigonometristen suhteiden tutkimiseen. Sen avulla on mahdollista ymmärtää paremmin tärkeimmät trigonometriset syyt kulmat suurempi kuin 180º, nimittäin: sini, kosini ja tangentti.
Lue myös: 4 yleisintä virhettä trigonometriassa
Rakenna trigonometrinen ympyrä askel askeleelta
Trigonometrisen ympyrän muodostamiseksi käytämme kahta akselia, yksi pystysuora ja toinen vaakasuora, kuten suorakulmainen taso. Vaaka-akseli tunnetaan nimellä kosini-akseli, ja pystyakseli tunnetaan nimellä siniakseli.
Piirretään akselien rakentamisen avulla ympyrän kaavio, jonka säde on 1.
Trigonometriset suhteet ympyrässä
Käytämme ympyrää arvon löytämiseen sini-, kosini- ja tangentti, kulma-arvon mukaan. ottaa sisään
pystyakselilla siniarvo ja vaaka-akselilla kosiniarvo, määrittämällä trigonometrisen ympyrän kulma, on mahdollista löytää sini- ja kosini-arvo analysoimalla sen pisteen koordinaatit, jossa viivasegmentti yhdistää ympyrän keskikohdan ja kehän, jota P kuvaa kuvassa a seuraa. Jos piirrämme tangenttiviivan ympyrään pisteessä (1.0), voimme myös laskea tämän kulman tangentin analyyttisesti kuvan mukaan:
Lue myös: Mitä ovat secant, cosecant ja kotangentti?
Trigonometriset ympyräsäteet
Tiedämme, että kaari voidaan mitata kahdella eri mittayksiköllä: mitta asteina ja mitta in radiaaneja. Tiedämme sen ympärysmitta on 360º ja että kaaresi pituus on 2π:
Trigonometrisen ympyrän kvadrantit
Olipa radiaaneina tai asteina, on mahdollista määrittää mittauksensa mukaan neljännes, jossa tietty kaari sijaitsee.
Sykliä analysoitaessa meidän on:
ensimmäinen kvadrantti: kulmat, jotka ovat välillä 0 - 90 ° tai 0 ja π / 2 radiaania;
toinen kvadrantti: kulmat, jotka ovat välillä 90 ° - 180 ° tai π / 2 ja π radiaania;
kolmas kvadrantti: kulmat, jotka ovat välillä 180º - 270º tai π - 3 π / 2 radiaania;
neljäs kvadrantti: kulmat, jotka ovat välillä 270 ° - 360 ° tai 3π / 2 ja 2π radiaania.
Lue myös: Suunnitelman ominaisuudet ja ominaisuudet
Huomattavat kulmat trigonometrisessä ympyrässä
Tutkimuksen alussa trigonometria, saimme tietää, että merkittävät kulmat ovat 30, 45 ja 60 asteen kulmat, joilla on tunnetun sini-, kosini- ja tangentin arvo. Trigonometrisen syklin symmetrian vuoksi on mahdollista löytää näiden kulmien sini- ja kosini-arvot sekä symmetriset kulmat hänelle kussakin neljänneksessä.
Trigonometriset ympyrämerkit
Riittää analysoida akseliarvot suorakulmion tasossa, jotta voidaan ymmärtää, mikä on kunkin syklin trigonometrisen suhteen suhde.
Aloitetaan kosinista. Koska se on vaaka-akseli, pystysuoran akselin oikealla puolella olevien kulmien kosini on positiivinen ja pystysuoran akselin vasemmalla puolella olevien kulmien kosini on negatiivinen.
Nyt ymmärtääksesi kulman sinimerkin, muista vain, että pystyakseli on siniakseli, joten vaaka-akselin yläpuolella olevan kulman sini on positiivinen; mutta jos kulma on vaaka-akselin alapuolella, tämän kulman sini on negatiivinen, kuten seuraavassa kuvassa näkyy:
Tiedämme sen tangentti on sinin ja kosinin suhdeSitten, jotta löydämme tangentin merkin jokaiselle kvadrantille, pelataan merkkipeliä, mikä tekee tangentista positiivisen parittomissa ja negatiivisissa parillisissa kvadranteissa:
Lue myös: Mitä ovat puolisuora, puolitaso ja puoliavaruus?
symmetria ympyrässä
Analysoimalla trigonometrinen sykli on mahdollista rakentaa tapa vähentää sini-, kosini- ja tangentti ensimmäiseen kvadranttiin. Tämä pienennys tarkoittaa ensimmäisen kvadrantin löytämistä kulmasta, joka on symmetrinen muiden kvadranttien kulmaan nähden, koska kun työskentelemme symmetrisen kulman kanssa, trigonometristen suhteiden arvo on sama, muuttamalla vain sen signaali.
2. kvadrantissa olevan kulman pienentäminen 1. kvadranttiin
Alkaen kulmista, jotka ovat 2. kvadrantissa, meidän on:
Kuten tiedämme, sini on positiivinen ensimmäisessä ja toisessa neljänneksessä. Joten laskemme sinin vähennyksen toisesta kvadrantista ensimmäiseen kvadranttiin käytämme kaavaa:
sin x = synti (180º - x)
Kosinit ja tangentit 2. kvadrantissa ovat negatiivisia. Pienennämme kosinin toisesta kvadrantista ensimmäiseen kvadranttiin käyttämällä kaavaa:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Esimerkki:
Mikä on sinin ja kosinin arvo 120 ° kulmassa?
120 ° kulma on kvadrantti toinen kulma, koska se on välillä 90 ° ja 180 °. Tämän kulman pienentämiseksi ensimmäiseen kvadranttiin laskemme:
synti 120 ° = synti (180 ° - 120 °)
synti 120º = synti 60º
60 ° kulma on merkittävä kulma, joten sen sinusarvo tunnetaan, joten:
Lasketaan nyt kosini:
cos 120º = - cos (180-120)
cos 120º = - cos 60º
Kuten tiedämme 60 asteen kosinin, meidän on:
Kolmannessa kvadrantissa olevan kulman pienentäminen ensimmäiseen kvadranttiin
Kuten 2. kvadrantissa, myös kolmannen kvadrantin kulmien ja 1. kvadrantin kulmien välillä on symmetria.
Kolmannen kvadrantin sini ja kosini ovat negatiivisia. Joten, pienentämään sini- ja kosiniarvoja kolmannesta kvadrantista ensimmäiseen kvadranttiin, käytämme kaavaa:
sin x = - synti (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Kolmannen kvadrantin tangentti on positiivinen. Sen vähentämiseksi käytämme kaavaa:
tg x = tg (x - 180º)
Esimerkki:
Laske sinus, kosini ja tangentti 225º.
synti 225º = - synti (225º - 180º)
sin 225º = - syn 45º
Koska 45 astetta on merkittävä kulma, meidän on taulukkoa tarkasteltaessa:
Laskettaessa kosinia meidän on:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Tiedämme, että tg45º = 1, joten:
tg 225º = 1
Neljännen kvadrantin kulman pienentäminen ensimmäiseen kvadranttiin
4. ja 1. neljänneksen välillä on symmetria samalla tavalla kuin edellisillä vähennyksillä:
Sinisen ja tangentin arvot 4. kvadrantissa ovat negatiivisia. Joten, kun haluat pienentää neljännestä ensimmäiseen kvadranttiin, käytämme kaavaa:
sin x = - synti (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Kosinus 4. neljänneksessä on positiivinen. Joten, jotta voidaan vähentää ensimmäiseen kvadranttiin, kaava on:
cos x = cos (360º - x)
Esimerkki:
Laske sini- ja kosiniarvo 330º.
Alkaen sinistä:
Nyt kosinin laskeminen:
Lue myös: Kuinka lasketaan kahden avaruuspisteen välinen etäisyys?
Trigonometriset ympyräratkaisut
Kysymys 1 - Pyörömomentin tutkimuksen aikana fyysikko analysoi kohteen, joka pyöri itsensä ympärillä muodostaen 15240 asteen kulman. Tätä kulmaa analysoimalla sen muodostama kaari on:
A) kvadrantti I.
B) kvadrantti II.
C) kvadrantti III.
D) kvadrantti IV.
E) yhden akselin päällä.
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Tiedämme, että jokainen 360 ° tämä esine on suorittanut ympyrän itsensä ympärillä. Suoritettaessa jako 15 240: stä 360: stä löydämme kuinka monta täydellistä käännöstä tämä esine on tehnyt itsensä ympärillä, mutta tärkein kiinnostuksen kohteemme on loppuosa, joka edustaa kulmaa, jolla se pysähtyi.
15.240: 360 = 42,333…
Tulos osoittaa, että hän teki 42 käännöstä itsensä ympäri, mutta 360 · 42 = 15,120, joten hän jätti kulman:
15.240 – 15.120 = 120º
Tiedämme, että 120 ° on kvadrantin toinen kulma.
Kysymys 2 - Arvioi seuraavat lausunnot:
I → Kun lasketaan tg 140º, arvo on negatiivinen.
II → 200 ° kulma on toisen kvadrantin kulma.
III → Sen 130º = syn 50º.
Merkitse oikea vaihtoehto:
A) Vain minä olen väärä.
B) Vain II on väärä.
C) Vain III on väärä.
D) Kaikki ovat totta.
Resoluutio
Vaihtoehto B.
I → Tosi, koska 140 asteen kulma kuuluu toiseen kvadranttiin, jossa tangentti on aina negatiivinen.
II → Väärä, koska 200 ° kulma on kolmannen neljänneksen kulma.
III → Tosi, koska laskeaksesi kulmaa toisesta ja toiseen neljännekseen, laske vain ero 180 ° - x, sitten:
synti 130 ° = synti (180 ° - 130 °)
synti 130. = synti 50.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm