Mikä on permutaatio?

Permutaatio on yksi aiheista, joista keskustellaan kombinatorinen analyysi matematiikassa. Jos sinulla on kädessä mikä tahansa järjestetty sekvenssi, jossa on n lukumäärä erillisiä elementtejä, mitä tahansa muuta samojen "n" järjestettyjen elementtien muodostamaa sekvenssiä kutsutaan permutaatio.

Siten voimme sanoa, että jos A on B: n permutaatio, niin A ja B koostuvat samoista elementeistä, mutta järjestetty eri tavalla.

Mistä permutaatiot tulevat?

Permutaatiot ovat yksittäisiä tapauksia Yksinkertaiset järjestelyt. Nämä on järjestetty joukko elementtejä A, niin että ryhmissä on vähemmän tai yhtä paljon elementtejä kuin joukossa A.

Joukko A = {X, Y, Z}, {X, Y} ja {Y, X} on a yksinkertainen järjestely A: n alkioista 2: sta 2: een. A-elementtien määrää edustaa kirjain “n”. O tilausnumerotai luokan numeroon "k". Tämä luku on elementtien määrä kussakin yksinkertaisessa taulukossa (esimerkin tapauksessa tämä luku on 2).

Luettelo A: n kolmen elementin 3-3 yksinkertaisista järjestelyistä on seuraava:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX ja YXZ

Tämä luettelo on juuri sellainen järjestelyjen erityistapaus, joka vastaanottaa permutaation nimen.

Yksinkertaisten järjestelyjen laskeminen

Joukon A yksinkertaisten matriisien määrä, jolla on ei otetut elementit k vai niin, voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

THE_{ei, ok} = ei!
(n - k)!

Permutaation määritelmä

Olkoon A joukko ei erilliset elementit. Sinä yksinkertaiset järjestelyt näistä elementeistä n: stä n: ään n kutsutaan yksinkertaiset permutaatiot of A. Siksi, jotta se olisi permutaatio, on välttämätöntä, että tilausnumero k olla yhtä suuri kuin luku ei A: n alkuaineista Seuraavat laskelmat johtuvat tästä:

Kun otetaan huomioon yksinkertaisten matriisien kaava ja järjestysnumero k = n, saadaan:

Tätä kaavaa käytetään laskemaan joukon A alkioiden permutaatioiden määrä, yleensä merkitty P: llä_ei. Pian:

Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)

P_ei = A_{ei ei} = n!

P_ei = n!

Esimerkki

Laske sanan LOVE kirjainten permutaatioiden määrä.

Ratkaisu:

Huomaa, että sanassa LOVE on 4 erillistä osaa. Tämän sanan permutaatioiden määrän laskemiseksi käytämme yllä olevaa kaavaa:

P_ei = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Siksi on mahdollista muodostaa 24 erilaista permutaatiota sanan LOVE kirjaimista. Sanan permutaatioita kutsutaan myös anagrams.

Permutaatiot toistuvilla elementeillä

Kaikilla sarjoilla voi olla toistuvia elementtejä. Klo permutaatiot kyseisen joukon tulisi harkita näiden elementtien toistamista, koska niiden esiintymisjärjestyksellä ei ole merkitystä, toisin kuin sarjan muiden elementtien järjestyksessä. Jos muutamme vain kahta A-paikkaa sanassa AMAR, saamme saman sanan. Samankaltaiset sanat eivät ole permutaatiot, tämän vuoksi tämä toisto on vähennettävä permutaatioiden kaavassa.

Vähennetään kaikki mahdolliset elementtien toistot yhdessä permutaatio toistuvilla elementeillä, meidän on tehtävä seuraava:

Olkoon A joukko ei elementtejä, joista k elementit toistavat itsensä. Kaava A: n permutaatioiden laskemiseksi on:

P_ei^k = ei!
k!

Jos asetettu A, painikkeella ei elementtejä, hallussaan k elementin toistoja ja j toisen toistoa, laskenta tapahtuu seuraavasti:

P_ei^haha =  ei!
k! · j!

Jos joukko A, painikkeella ei elementtejä, on k elementin toistoja, j toisen toistoja,…, m toisen toistoa, kaava on seuraavanlainen:

P_ei^{k, j,..., m} =  ei!
k! · j! ·... · M!

Esimerkki

Laske sanan ANTONIA anagrammien määrä.

Ratkaisu:

Voit ratkaista esimerkin vain laskemalla permutaatiot toistuvilla elementeillä sanan ANTONIA. Sekä kirjain A että kirjain N toistetaan 2 kertaa. Katsella:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta