Toisin kuin hänen muodostamansa geometriset kuviot, Pisteet ei ole määritelmää. Tämä tarkoittaa, että geometriassa piste on määrittelemätön objekti, jota käytetään määrittelemään muita objekteja. Esimerkiksi viivat ovat pisteitä. Vaikka ne näyttävät hyvin määritellyiltä, viivoilla ei myöskään ole määritelmää, koska mitä tahansa sarjaa, joka sisältää kaksi tai useampia pisteitä, pidetään suorina.
Toisaalta analyyttisessä geometriassa piste otetaan sijainniksi. Mitä tahansa sijaintia voidaan edustaa pisteellä, ja lisäksi kyseisen pisteen "osoite" annetaan koordinaattien avulla.
Analyyttisessä geometriassa pisteet pystyvät kuitenkin osoittamaan vain sijainnit. Muita esineitä tarvitaan osoittamaan liikerata, suunta, suunta ja intensiteetti. Näiden kolmen viimeisen tapauksessa kohde, joka on valittu edustamaan niitä suorakulmion tasossa, on vektori.
→ Mikä on vektori?
Vektoritovat siis kohteita, jotka osoittavat suunnan, aistin ja voimakkuuden. Niitä edustavat yleensä nuolet, jotka alkavat alkuperästä, ja niiden viimeisen pisteen koordinaatteja käytetään.
Yllä olevassa kuvassa vektorit on esitetty tällä tavalla, eli nuolet, joiden koordinaatit vastaavat niiden viimeistä pistettä. Vektorilla u on koordinaatit (2,2) ja vektorilla v on koordinaatit (4,2). Nuolta käytetään myös osoittamaan suunta ja suunta, ja sen koko osoittaa voimakkuutta.
→ Vektorikertainen luku
Koska vektori v = (a, b), reaaliluvun k tulo v: llä saadaan lausekkeella:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Toisin sanoen, jos haluat kertoa reaaliluvun vektorilla, sinun on kerrottava reaaliluku jokaisella sen koordinaatilla.
Geometrisesti vektorin kertominen reaaliluvulla lisää vektorin kokoa lineaarisesti:
Huomaa, että yllä olevassa esimerkissä vektorilla u on koordinaatit (2.2) ja vektorilla u · k on koordinaatit (4.4). Ratkaisemalla yhtälö (4.4) = k (2.2) voidaan päätellä, että k = 2.
→ Vektorien lisääminen
Kun annetaan kaksi vektoria u = (a, b) ja v = (c, d), niiden välinen summa saadaan lausekkeella:
u + v = (a + c, b + d)
Toisin sanoen lisää vain kunkin vektorin vastaavat koordinaatit. Tämä operaatio on laajennettavissa 3 tai useamman vektorin summalle, jolla on vähintään 3 ulottuvuutta.
Geometrisesti vektorin u päätepisteestä alkaen vektori v 'piirretään yhdensuuntaisesti vektorin v kanssa. Vektorista v alkaen vektori u 'piirretään yhdensuuntaisesti vektorin u kanssa. Nämä neljä vektoria muodostavat suunnan. Vektori u + v on tämän vierekkäisen diagonaali:
Vektorien vähentämiseksi pidetään vähennystä yhden vektorin summana ja toisen vastakohtana. Esimerkiksi vähentämällä vektori v vektorista u, kirjoita: u - v = u + (-v). -Vektori on v-vektori, mutta koordinaatimerkit ovat päinvastaiset.
Tarkasteltaessa toiminta "vektorin kertominen luvulla" ja "vektorien lisääminen" hyödynnetään kertolasku - ja summaustoimintoja reaaliluvuilla, mutta kullakin komponentilla vektori. Siksi vektorien osalta kaikki reaalilukujen yhteenlasku- ja kertolaskuominaisuudet pätevät, nimittäin:
Kun otetaan huomioon vektorit u, v ja w sekä reaaliluvut k ja l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) on vektori 0 = (0,0) siten, että v + 0 = v
iv) On olemassa vektori -v siten, että v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Vektorin standardi
Vektorin normi vastaa reaaliluvun suuruutta, toisin sanoen vektorin ja pisteen välistä etäisyyttä (0,0) tai, viitekehyksestä riippuen, vektorin pituutta.
Vektorin v = (a, b) normia merkitään || v || ja se voidaan laskea käyttämällä lauseketta:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Sisäinen tuote
Sisäinen tuote on verrattavissa vektorien väliseen tuotteeseen. Huomaa, että yllä mainittu tuote on vektorin ja reaaliluvun välinen tulo. Nyt kyseessä oleva "tuote" on kahden vektorin välissä. Ei kuitenkaan pitäisi sanoa "kahden vektorin välinen tulo", vaan "kahden vektorin välinen sisäinen tulo". Vektorien v = (a, b) ja u = (c, d) välinen sisäinen tuote on merkitty
On myös tapana käyttää seuraavaa merkintää:
Huomaa, että käyttämällä vektorin v = (a, b) normia voimme yhdistää normin ja pistetulon.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm
