Käänteisfunktio: mikä se on, kaavio, harjoitukset

THE käänteinen toiminto, kuten nimestä voi päätellä, on funktio f (x)^-1, joka tekee funktion f (x) täsmälleen käänteisen. Jotta funktio tukee käänteistä, sen on oltava bijector, ts. injektori ja surjektori samanaikaisesti. Käänteisfunktion muodostuslaki tekee päinvastoin kuin funktio f (x).

Esimerkiksi, jos funktio ottaa arvon verkkotunnus ja lisää 2, käänteisfunktio vähentää lisäämisen sijasta 2. Etsi käänteisen funktion muodostumisen laki se ei ole aina helppo tehtävä, koska on tarpeen kääntää tuntematon x ja y sekä eristää y uudessa yhtälössä.

Lue myös:Tehtävä - kaikki mitä sinun tarvitsee tietää oppiaksesi aihetta

Milloin funktio tukee käänteistä?

Graafinen esitys toiminnosta ja sen käänteisfunktiosta.

Rooli on kääntyvä, eli sillä on käänteisfunktio, jos vain ja vain bijector. On tärkeää muistaa, mitä a bijector-toiminto, joka on funktio injektori, eli jokaisella kuvan elementillä on yksi verkkotunnuksen vastaava. Tämä tarkoittaa, että A-ryhmän eri elementit on yhdistettävä A-ryhmän eri elementteihin joukko B, eli joukossa A ei voi olla kahta tai useampaa elementtiä, joilla on sama vastaavuus ryhmässä sarja B.

Rooli on surjektiivinen jos kuva on yhtä suuri kuin vastaverkkotunnuseli joukossa B ei ole yhtään elementtiä, johon ei olisi liitetty joukkoa A sisältävää elementtiä.

Olkoon funktio f: A → B, jossa A on toimialue ja B on verkkotunnus, f: n käänteisfunktio on funktio, jonka f kuvaa^-1 : B → A, toisin sanoen toimialue ja vastaverkkotunnus on käännetty.

Esimerkki:

Funktio f: A → B on bijektiivinen, koska se on injektiivinen (loppujen lopuksi A: n erilliset elementit liittyvät erilliset elementit kohdassa B) ja se on myös surjektiivinen, koska sarjassa B ei ole enää yhtään elementtiä, vastaverkkotunnus on sama kuin aseta Kuva.

Siksi tämä toiminto on käänteinen, ja sen käänteinen on:

Kuinka käänteisen funktion muodostumisen laki määritetään?

Tarvitsemme käänteisen funktion muodostuslain kääntää tuntemattomat, eli korvataan x y: llä ja y x: llä ja eristetään sitten tuntematon y. Tätä varten on tärkeää, että funktio on käänteinen, toisin sanoen bijector.

→ Esimerkki 1

Etsi f: n (x) = x + 5 käänteisfunktion muodostumislaki.

Resoluutio:

Tiedämme, että f (x) = y, joten y = x + 5. Suorittamalla x: n ja y: n inversio, löydämme seuraavan yhtälö:

x = y + 5

Eristetään nyt y:

- 5 + x = y
y = x - 5

On selvää, että jos f (x) lisää x: n arvoon 5, niin sen käänteinen f (x) ^{- 1} tekee päinvastoin, eli x miinus 5.

→ Esimerkki 2

Kun otetaan huomioon funktio, jonka muodostumislaki on f (x) = 2x - 3, mikä on sen käänteisen muodostumislaki?

→ Esimerkki 3

Laske funktion y = 2 käänteisen muodostumislaki^x.

Resoluutio:

y = 2^x
X: n muuttaminen y: lle:
x = 2^y

hakeminen logaritmi molemmin puolin:

Hirsi₂x = loki₂2^y
Hirsi₂x = ylog₂2
Hirsi₂x = y · 1
Hirsi₂x = y
y = loki₂x

Lue myös: Funktion ja yhtälön erot

Käänteinen toimintakaavio

Käänteisfunktion f kaavio ^-1 se on aina symmetrinen funktion f kuvaajalle suhteessa viivaan y = x, mikä antaa mahdollisuuden analysoida näiden käyttäytymistä funktioita, vaikka emme voi kuvata käänteisen funktion muodostumisen lakia joissakin tapauksissa sen takia monimutkaisuus.

Lue myös: Kuinka piirtää funktio?

ratkaisi harjoituksia

1) Jos f^-1 on f: n käänteisfunktio, joka siirtyy R: stä R: ään, jonka muodostumalaki f (x) = 2x - 10, f: n numeerinen arvo ^-1(2) é:

1: een

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Resoluutio:

→ 1. askel: etsi f: n käänteinen.

→ 2. askel: korvaa 2 x: n sijasta f: ssä ^-1(x).

Vaihtoehto C.

2) Olkoon f: A → B funktio, jonka muodostuslaki on f (x) = x² + 1, missä A {-2, -1, 0, 1, 2} ja B = {1,2,5}, on oikein sanoa, että:

a) funktio on käänteinen, koska se on bijector.

b) toiminto ei ole käänteinen, koska se ei ole injektio.

c) funktio ei ole käänteinen, koska se ei ole surjektiivinen

d) toiminto ei ole käänteinen, koska se ei ole surjektiivinen eikä injektoiva.

e) funktio ei ole käänteinen, koska se on bijector.

Resoluutio:

Jotta toiminto olisi käänteinen, sen on oltava bijektiivinen, toisin sanoen surjektiivinen ja injektoiva. Analysoidaan ensin, onko se surjektiivinen.

Jotta funktio olisi surjektiivinen, kaikilla B: n elementeillä on oltava vastine A: ssa. Tämän selvittämiseksi lasketaan kukin sen numeerisista arvoista.

f (-2) = (-2) 2 +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) 2 +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0 + 1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2 + 1 = 4 + 1 = 5

Huomaa, että B: n kaikilla elementeillä {1,2,5} on vastaava A: ssa, mikä tekee toiminnosta surjektiivinen.

Tämän toiminnon injektoimiseksi A: sta erillisillä elementeillä on oltava erilliset kuvat B: ssä, mitä ei tapahdu. Huomaa, että f (-2) = f (2) ja myös f (-1) = f (1), joka tekee toiminnosta älä pistä. Koska se ei ole injektori, se ei ole myöskään käännettävä; siksi, vaihtoehto b.

Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm