THE eksponentti funktio tapahtuu, kun muodostumislakissaan muuttuja on eksponentissa, domeenin ja vasta-alueen ollessa reaaliluvut. Eksponentiaalisen funktion toimialue on reaaliluvut ja laskurialue on ei-nolla positiivinen reaaliluku. Harjoittelulaki voidaan kuvata f (x) =x, mistä on muu positiivinen reaaliluku kuin 1.
O graafinen eksponentiaalisen funktion arvo on aina suorakulmion tason ensimmäisessä ja toisessa kvadrantissa, ja se voi kasvaa, kun on luku suurempi kuin 1 tai pienenee, kun on positiivinen luku alle 1. THE käänteinen toiminto Eksponenttifunktion arvo on logaritmifunktio, joka tekee näiden funktioiden kaavioista aina symmetrisiä.
Lue myös: Mikä on toiminto?
Mikä on eksponentiaalinen funktio?
Kuten nimestä voi päätellä, termi eksponentiaalinen liittyy eksponenttiin. Joten eksponentiaalisen funktion määritelmä on a toiminto, jonka verkkotunnus on reaalilukujoukko ja vasta-alue on nollasta poikkeavien positiivisten reaalilukujen joukko., jota kuvaa : ℝ → ℝ *
+. Sen muodostumislakia kuvataan yhtälöllä f (x) = x, mistä se on mikä tahansa reaaliluku, positiivinen, ei nolla ja annettu perusnimi.Esimerkkejä:
Muodostumislaissa f (x) voidaan kuvata myös nimellä y ja kuten muissakin funktioissa, se on tunnetaan riippuvana muuttujana, koska sen arvo riippuu muuttujasta x, joka tunnetaan muuttujana. riippumaton.
Eksponentiaaliset toimintotyypit
Eksponenttitoiminnot voidaan luokitella kahteen erilliseen tapaukseen. Kun otetaan huomioon toiminnon käyttäytyminen, se voi olla nouseva tai laskeva.
Eksponentiaalista funktiota kutsutaan kasvavaksi, jos x: n arvon kasvaessa myös f (x): n arvo kasvaa. Tämä tapahtuu, kun pohja on suurempi kuin 1, eli: > 1.
Esimerkki:
Eksponentiaalisen funktion katsotaan pienenevän, jos x: n arvon kasvaessa f (x): n arvo pienenee. Tämä tapahtuu, kun emäs on luku välillä 0 ja 1, eli 0 < < 1.
Esimerkki:
Lue myös: Funktion ja yhtälön erot
Eksponentiaalinen toimintakaavio
Eksponentiaalisen funktion graafisen esityksen piirtämiseksi on löydettävä kuva joillekin toimialueen arvoille. Eksponentiaalisen funktion kuvaajalla on paljon suurempi kasvu kuin lineaariset funktiot, jos kasvaa, tai suurempi lasku, kun pienenee.
Esimerkkejä:
a) Rakenna funktion kaavio: f (x) = 2x.
Koska> 1, tämä toiminto kasvaa. Kuvaajan rakentamiseksi määritetään x: lle joitain arvoja seuraavan taulukon mukaisesti:
Nyt kun tiedämme joitain funktion pisteitä, on mahdollista merkitä ne funktioon Kartesian taso ja piirrä eksponentiaalinen funktiokäyrä.
b) Rakenna seuraavan funktion kaavio:
Tällöin funktio laskee, koska perusta on luku välillä 0 ja 1, kaavio laskee.
Löydettyään joitain numeerisia arvoja on mahdollista esittää suorakaiteen tasossa funktion kaavio:
Eksponentiaaliset toimintojen ominaisuudet
→ 1. omaisuus
Missä tahansa eksponentiaalisessa funktiossa, riippumatta sen perusarvosta , Meidän täytyyf (0) = 1. Loppujen lopuksi tiedämme, että tämä on teho-ominaisuuseli jokainen nollaksi nostettu luku on 1. Tämä tarkoittaa, että kaavio leikkaa pystyakselin pisteessä (0,1) joka kerta.
→ 2. omaisuus
Eksponenttifunktio on injektori. Tiedot x1 ja x2 sellainen, että x1 ≠ x2, joten myös kuvat ovat erilaisia, ts. f (x1) ≠ f (x2), mikä tarkoittaa, että kutakin kuva-arvoa varten toimialueella on yksi arvo, joka vastaa kyseistä kuvaa.
Injektiivinen oleminen tarkoittaa, että muille arvoille kuin y on x: n yksi arvo, joka tekee f (x): stä y: n.
→ 3. omaisuus
Funktion käyttäytyminen on mahdollista tietää sen perusarvon mukaan. Kaavio kasvaa, jos pohja on suurempi kuin 1 ( > 1) ja pienenee, jos emäs on alle 1 ja alle 0 (0
→ 4. omaisuus
O eksponentiaalifunktion kaavio on aina ensimmäisessä ja toisessa kvadrantissa, koska funktion vasta-alue on nollasta poikkeavat todelliset realit.
Lue myös: Kuinka piirtää funktio?
Eksponentiaalifunktio ja logaritmifunktio
Koska eksponentiaalifunktio on funktio, joka sallii käänteisen, tämä eksponentiaalifunktion ja logaritmifunktion vertailu on väistämätöntä. osoittautuu logaritmifunktio on eksponentin käänteisfunktio. Näiden toimintojen kuvaajat ovat symmetrisiä x-akselin puolittimen suhteen. Käänteisfunktio on, että logaritminen toiminto tekee päinvastoin kuin mitä eksponenttifunktio tekee, toisin sanoen eksponenttifunktiossa, jos f (x) = y, niin käänteisenä logaritmifunktiota merkitään f: llä-1 f-1 (y) = x.
Harjoitukset ratkaistu
(Enem 2015) Yrityksen työntekijäyhdistys ehdottaa, että luokan palkkataso on 1 800,00 R $, mikä ehdottaa kiinteää prosenttikorotusta jokaiselle työlle omistetulle vuodelle. Ilmaisu, joka vastaa palkkatarjous (ehdotuksia) vuosipalvelun pituuden (t) funktiona, on s (t) = 1800 · (1,03)t.
Ammattiliiton ehdotuksen mukaan kahden vuoden palveluksessa olevan yrityksen ammattilaisen palkka on todellisuudessa
a) 7416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62
Resoluutio:
Haluamme laskea funktion kuvan, kun t = 2, eli s (2). Korvaamalla kaavassa t = 2, havaitsemme, että:
s (2) = 1800 · (1,03) ²
s (2) = 1800 · 1,0609
s (2) = 1909,62
Vaihtoehto E
2) (Enem 2015) Teknologioiden lisääminen teolliseen tuotantojärjestelmään pyrkii vähentämään kustannuksia ja lisäämään tuottavuutta. Ensimmäisenä toimintavuonna teollisuus valmisti 8000 yksikköä tiettyä tuotetta. Seuraavana vuonna se investoi tekniikkaan, hankki uusia koneita ja lisäsi tuotantoa 50%. Tämän prosentuaalisen kasvun arvioidaan toistuvan tulevina vuosina, mikä takaa 50 prosentin vuotuisen kasvun. Olkoon P vuotuinen tuotemäärä teollisuuden toimintana vuonna t.
Jos arvio saavutetaan, mikä on ilmaisu, joka määrittää tuotettujen yksiköiden määrän Ptoiminnassa t, varten t ≥ 1?
) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
B)P(t) = 50 · t -1 + 8000
ç)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
ja)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Resoluutio:
Huomaa, että vuoden välillä on suhde t ja tietyn tuotteen määrä P. Kun tiedetään, että kasvu on 50% kullekin vuodelle, tämä tarkoittaa sitä, että verrattaessa edellisen ja sen jälkeisen vuoden tuotantoa toisen arvo vastaa 150%, mikä on 1,5. Kun tiedämme, että alkutuotanto on 8000 ja että ensimmäisenä vuonna tämä oli tuotanto, voimme kuvata tilanteen seuraavasti:
Ensimmäisenä vuonna, eli jos t = 1 → s (t) = 8000.
Toisena vuonna, jos t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
Kolmantena vuonna, jos t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
T vuoden kuluttua meillä on P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
Vaihtoehto E
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm