Polynomihajoamislause

Algebran peruslause polynomiyhtälöt takaa sen "joka aste polynomi n ≥ 1 on ainakin yksi monimutkainen juuri ". Todisteen tästä lauseesta teki matemaatikko Friedrich Gauss vuonna 1799. Siitä voimme osoittaa polynomihajoamislause, mikä takaa, että mikä tahansa polynomi voidaan hajottaa ensimmäisen asteen tekijöiksi. Ota seuraava polynomi p (x) luokan n ≥ 1 ja_ei ≠ 0:

p (x) = a_ei x^ei +_n-1 x^n-1 +… +₁x¹ +₀

Algebran peruslauseen avulla voimme todeta, että tällä polynomilla on ainakin yksi monimutkainen juuri. u₁, sellainen p (u₁) = 0. O D'Alembertin lause että polynomien jakaminen toteaa, että jos p (u₁) = 0, sitten p (x) on jaettavissa (x - u₁), jolloin saadaan osamäärä mitä₁(x), joka on asteen polynomi (n - 1), mikä saa meidät sanomaan:

p (x) = (x - u₁). mitä₁(x)

Tästä yhtälöstä on tarpeen korostaa kahta mahdollisuutta:

Jos u = 1 ja mitä₁(x) on asteen polynomi (n - 1)sitten mitä₁(x) on tutkinto 0. Hallitsevana kertoimena p (x) é _ei, mitä₁(x) on vakiotyyppinen polynomi mitä₁(x)=_ei. Joten meillä on:

p (x) = (x - u₁). mitä₁(x)
(x) = (x - u₁)._ei
p (x) = a_ei . (x - u₁)

Mutta jos u ≥ 2, sitten polynomi mitä₁ on tutkinto n - 1 ≥ 1 ja algebran perusteoreema pätee. Voimme sanoa, että polynomi mitä₁ on ainakin yksi juuri ei₂, joka saa meidät sanomaan sen mitä₁ voidaan kirjoittaa seuraavasti:

mitä₁(x) = (x - u₂). mitä₂(x)

Mutta miten p (x) = (x - u₁). mitä₁(x), voimme kirjoittaa sen uudelleen:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). mitä₂(x)

Toistamalla tämä prosessi peräkkäin, meillä on:

p (x) = a_ei. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_ei)

Siten voimme päätellä, että jokainen polynomi tai polynomiyhtälö p (x) = 0 luokan n ≥ 1 omistaa tarkalleen ei monimutkaiset juuret.​

Esimerkki: Olla p (x) asteen polynomi 5, niin että sen juuret ovat – 1, 2, 3, – 2 ja 4. Kirjoita tämä polynomi hajotettuna 1. asteen tekijöihin ottaen huomioon hallitseva kerroin yhtä kuin 1. Se on kirjoitettava laajennetussa muodossa:

jos – 1, 2, 3, – 2 ja 4 ovat polynomin juuria, joten erojen tulo x kullekin näistä juurista johtaa p (x):

p (x) = a_ei. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Jos hallitseva kerroin _ei = 1, meillä on:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Kirjailija: Amanda Gonçalves
Valmistunut matematiikasta

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm