Matriisikertaus: kuinka laskea, esimerkkejä

THE mmatriisin kertolasku tehdään paljon huomiota vaativalla algoritmilla. Jotta matriisin A ja matriisin B välinen tuote olisi olemassa, on välttämätöntä, että sarakkeita antaa ensimmäinen päämaja, varalta A, on yhtä suuri kuin linjat antaa maanantai päämaja, tapauksessa B.

Matriisien välisestä kertoimesta voidaan ymmärtää, mikä identiteettimatriisi on neutraali matriisikertoimen elementti ja mikä on matriisin M käänteismatriisi, joka on matriisi M^-1 jonka M: n tulo M: ltä^-1 on sama kuin identiteettimatriisi. Matriisi voidaan myös kertoa reaaliluvulla - tässä tapauksessa kerrotaan kukin ehtojen ehdoista päämaja numeron mukaan.

Lue myös: Mikä on kolmiomainen matriisi?

olemassaolon ehto

Matriisien kertolasku on prosessi, joka vaatii paljon huomiota.

Kahden matriisin kertominen edellyttää ensin olemassaolon tarkistamista. Jotta tuote olisi olemassa, ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrän on oltava yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien lukumäärä. Kertomisen tulos on myös matriisi, jolla on sama määrä rivejä kuin ensimmäisellä matriisilla ja sama sarakemäärä kuin toisella matriisilla.

Esimerkiksi matriisien A välinen tuote AB_3x2 ja B_2x5 on olemassa, koska sarakkeiden määrä A: ssa (2 saraketta) on yhtä suuri kuin B: n rivien lukumäärä (2 riviä), ja tulos on matriisi AB_3x5. Tuote jo C-matriisien välillä_3x5 ja matriisi D_2x5 ei ole olemassa, koska C: llä on 5 saraketta ja D: llä 3 riviä.

Kuinka laskea tulo kahden matriisin välillä?

Matriisikertolasku suoritetaan on tarpeen noudattaa joitain vaiheita. Teemme esimerkin algebrallisen matriisin A kertomisesta_2x3 matriisin B avulla_3x2

Tiedämme, että tuote on olemassa, koska matriisissa A on 3 saraketta ja matriisissa B kolme riviä. Kutsumme C kertolaskun tulokseksi A · B. Lisäksi tiedämme myös, että tulos on C-matriisi._2x2, koska matriisissa A on 2 riviä ja matriisissa B 2 saraketta.

Matriisin A tulon laskeminen_2x3 ja matriisi B_3x2, seurataan muutama vaihe.

Ensin löydämme kaikki matriisin C ehdot_2x2:

Etsitään ehdot Liitä matriisin A rivit aina matriisin B sarakkeisiin:

ç₁₁ → A: n 1. rivi ja B: n ensimmäinen sarake
ç₁₂ → A: n 1. rivi ja B: n 2. sarake
ç₂₁ → A: n 2. rivi ja B: n ensimmäinen sarake
ç₂₂ → A: n 2. rivi ja B: n 2. sarake

Lasketaan kukin termeistä kertomalla A-rivin termit ja B-sarakkeen termit. Nyt meidän on lisättävä nämä tuotteet alkaen ç_11:

A: n 1. rivi
B: n ensimmäinen sarake

ç₁₁ = ₁₁· B₁₁ + ₁₂· B₂₁+ ₁₃· B₃₁

laskettaessa ç₁₂:

A: n 1. rivi
B: n 2. sarake

ç₁₂ = ₁₁· B₁₂ + ₁₂· B₂₂+₁₃· B₃₂

laskettaessa ç₂₁:

A: n 2. rivi
B: n ensimmäinen sarake

ç₂₁ = ₂₁· B₁₁ + ₂₂· B₂₁+₂₃· B₃₁

laskettaessa termiä ç₂₂:

A: n 2. rivi
B: n 2. sarake

ç₂₂ = ₂₁· B₁₂ + ₂₂· B₂₂+₂₃· B₃₂

Täten matriisi C muodostetaan termeillä:

Esimerkki:

Lasketaan matriisien A ja B kertolasku.

Tiedämme sen A: ssa_2x2 ja B_2x3, ensimmäisen sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen rivien lukumäärä, joten tuote on olemassa. Joten teemme C = A · B ja tiedämme, että C_2x3.

Kertomalla meidän on:

Katso myös: Mikä on transponoitu matriisi?

identiteettimatriisi

Matriisien kertoimessa on joitain erikoistapauksia, kuten identiteettimatriisi, joka on neutraali elementti matriisien välisen kertolaskun suhteen.. Identiteettimatriisi on neliömatriisi, ts. Rivien lukumäärä on aina yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä. Lisäksi vain lävistäjän ehdot ovat yhtä suuria kuin 1, ja muut termit ovat kaikki nolla. Kun kerrotaan matriisi M identiteettimatriisilla I_ei, Meidän täytyy:

M · I_ei = M

Identiteettimatriisit järjestyksestä 2 järjestykseen 5

Esimerkki:

Mikä on käänteinen matriisi?

Kun otetaan huomioon matriisi M, tunnemme sen M: n käänteisenä matriisina. matriisi M^-1jonka tuote M · M^-1 on yhtä suuri à identiteettimatriisi I_ei. Jotta matriisilla olisi käänteinen muoto, sen on oltava neliö ja sen määräävä tekijä täytyy olla erilainen kuin 0. Katsotaanpa esimerkkejä käänteisistä matriiseista:

Laskettaessa tuotetta A · B meidän on:

Huomaa, että A: n ja B: n muodostaman matriisin I välinen tuote₂. Kun näin tapahtuu, sanomme, että B on A: n käänteinen matriisi. Jos haluat lisätietoja tämän tyyppisestä matriisista, lue: Käänteinen matriisi.

Matriisikertaus reaaliluvulla

Toisin kuin matriisien välinen kertolasku, on myös matriisikertaus yhdellä oikea numero, joka on paljon yksinkertaisempi toiminto ratkaisun löytämiseksi.

Annetaan matriisi M kertomalla matriisi reaaliluvulla k on yhtä suuri kuin matriisi kM. Tämän matriisin löytäminen kM, tarpeeksi kerro kaikki matriisin termit vakiolla k.

Esimerkki:

jos k = 5 ja ottaen huomioon matriisi M alla, etsi matriisi 5M.

Kerrotaan:

ratkaisi harjoituksia

Kysymys 1 - (Unitau) Annetut matriisit A ​​ja B,

elementin c arvo₁₁ matriisin C = AB on:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Resoluutio

Vaihtoehto A.

Kuinka haluamme termin c₁₁, kerrotaan ensimmäisen rivin ja A termit B: n ensimmäisen sarakkeen termeillä.

lasketaan c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Kysymys 2 - (Enem 2012) Opiskelija rekisteröi joidenkin aiheidensa kahden kuukauden välein taulukkoon. Hän totesi, että taulukon numeeriset merkinnät muodostivat 4 × 4 -matriisin ja että hän pystyi laskemaan näiden tieteenalojen vuotuiset keskiarvot matriisien tulon avulla. Kaikilla testeillä oli sama paino, ja hänen saamansa taulukko on esitetty alla.

Saadakseen nämä keskiarvot hän kertoi taulukosta saadun matriisin matriisilla:

Resoluutio

Vaihtoehto E.

Keskiarvo ei ole muuta kuin elementtien summa jaettuna elementtien lukumäärällä. Huomaa, että riviä on 4 nuottia, joten keskiarvo olisi näiden nuottien summa jaettuna 4: llä. Jakaminen 4: llä on sama kuin kertominen murto-osa ¼. Myös arvosanojen matriisi on 4x4-matriisi, joten meidän on kerrottava 4x1-matriisilla, eli sillä on 4 riviä ja 1 sarake, jotta löydetään matriisi, jolla on arvosanojen keskiarvo.

Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm