Käänteinen matriisi: mikä se on, kuinka löytää harjoituksia

Käsite käänteinen matriisi tulee hyvin lähelle luvun käänteiskäsitettä. Muistetaan, että luvun käänteinen ei on numero ei^-1, jossa näiden kahden välinen tulo on yhtä suuri kuin kertolasku, eli numero 1. Jo matriisin M käänteinen on matriisi M^-1, jossa tuote M · M^-1 on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi I_ei, mikä ei ole muuta kuin matriisin kertomisen neutraali elementti.

Jotta matriisilla olisi käänteinen muoto, sen on oltava neliö ja lisäksi sen determinantin on oltava erilainen kuin nolla, muuten käänteistä ei tule. Käänteisen matriisin löytämiseksi käytämme matriisiyhtälöä.

Lue myös: Kolmikulmainen matriisi - erityinen neliömatriisi

Jotta matriisilla olisi käänteinen muoto, sen on oltava neliö.

identiteettimatriisi

Käänteisen matriisin ymmärtämiseksi on ensin tiedettävä identiteettimatriisi. Tunnemme identiteettimatriisina neliömatriisin I_ei missä kaikki päädiagonaalin elementit ovat yhtä suuret kuin 1 ja muut termit ovat 0.

THE identiteettimatriisi on matriisien välisen neutraalin elementin kerroin.

, eli annetaan a päämaja M: n järjestys n, matriisin M ja matriisin I välinen tulo_ei on yhtä suuri kuin matriisi M.

M · I_ei = M

Kuinka lasketaan käänteinen matriisi

M: n käänteisen matriisin löytämiseksi on tarpeen ratkaista matriisiyhtälö:

 M · M^-1 = Minä_ei

Esimerkki

Etsi M.: n käänteinen matriisi

Koska emme tiedä käänteistä matriisia, edustetaan tätä matriisia algebrallisesti:

Tiedämme, että näiden matriisien välisen tuotteen on oltava yhtä suuri kuin I₂:

Ratkaistaan ​​nyt matriisiyhtälö:

Ongelma on mahdollista jakaa kahteen osaan järjestelmät yhtälöt. Ensimmäinen käyttää matriisin M · M ensimmäistä saraketta^-1 ja identiteettimatriisin ensimmäinen sarake. Joten meidän on:

Eristetään järjestelmän ratkaisemiseksi₂₁ yhtälössä II ja korvaa yhtälössä I.

Korvaamalla yhtälössä I meidän on:

Kuinka löydämme a: n arvon₁₁, niin löydämme a: n arvon₂₁:

Tietäen arvon a₂₁ ja₁₁, nyt löydämme muiden termien arvon asettamalla toisen järjestelmän:

eristäminen₂₂ yhtälössä III meidän on:

3.₁₂ + 1.₂₂ = 0

₂₂ = - 3. sija₁₂

Korvaa yhtälössä IV:

5.₁₂ + 2.₂₂ =1

5.₁₂ + 2 · (- 3.₁₂) = 1

5.₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

Tietäen arvon a₁₂, löydämme a: n arvon₂₂ :

₂₂ = - 3. sija₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

Nyt kun tiedämme kaikki matriisin M ehdot^-1, on mahdollista edustaa sitä:

Lue myös: Matriisien summaaminen ja vähentäminen

Käänteiset matriisiominaisuudet

On ominaisuuksia, jotka johtuvat käänteisen matriisin määrittelemisestä.

• 1. omaisuus: matriisin M käänteinen^-1 on yhtä suuri kuin matriisi M. Käänteisen matriisin käänteinen muoto on aina itse matriisi eli (M^-1)^-1 = M, koska tiedämme, että M^-1 M = I_ei, siksi M^-1 on M: n käänteinen ja myös M on M: n käänteinen^-1.
• 2. omaisuus: identiteettimatriisin käänteinen muoto on itse: I^-1 = I, koska identiteettimatriisin tuote itsessään johtaa identiteettimatriisiin, eli minä_ei · Minä_ei = Minä_ei.
• 3. omaisuus: käänteinen kahden matriisin tuloOletko on yhtä suuri kuin käänteiden tulo:

(M × K)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. omaisuus: neliömatriisilla on käänteinen vain ja vain, jos se on määräävä tekijä on erilainen kuin 0, eli det (M) ≠ 0.

ratkaisi harjoituksia

1) Annettu matriisi A ja matriisi B tietäen, että ne ovat käänteisiä, x + y: n arvo on:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resoluutio:

Vaihtoehto d.

Yhtälön rakentaminen:

A · B = I 

Toisessa sarakkeessa, joka vastaa ehtoja, meidän on:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Eristetään x osaksi I:

Vaihdetaan sisään yhtälö II, meidän on:

Tietäen y: n arvon, löydämme x: n arvon:

Lasketaan nyt x + y:

kysymys 2

Matriisilla on käänteinen vain, kun sen determinantti eroaa 0: sta. Mitkä ovat x arvot, jotka tekevät matriisista ei käänteisiä, kun tarkastellaan alla olevaa matriisia?

a) 0 ja 1.

b) 1 ja 2.

c) 2 ja - 1.

d) 3 ja 0.

e) - 3 ja - 2.

Resoluutio:

Vaihtoehto b.

Laskettaessa A: n determinantti haluamme arvoja, joissa det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

ratkaista 2. asteen yhtälö, Meidän täytyy:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

A = b2 - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm