Matriisi: mikä se on, tyypit, operaatiot, esimerkit

THE päämaja sitä käytetään yleisesti taulukkotietojen järjestämisessä ongelmanratkaisun helpottamiseksi. Matriisitiedot, joko numeeriset tai ei, on järjestetty siististi riveihin ja sarakkeisiin.

Sarja matriiseja, jotka on varustettu lisäys, vähennyslasku ja kertolasku ja ominaisuudet neutraalina ja käänteisenä elementtinä muodostavat matemaattisen rakenteen, joka mahdollistaa sen käytön useilla aloilla tämän suuren osaamisen alueesta.

Katso myös: Matriisi- ja lineaaristen järjestelmien suhde

Matriisiesitys

Ennen matriisitutkimusten aloittamista on välttämätöntä luoda joitain merkintöjä niiden esityksiin. Klo matriiseja edustavat aina isot kirjaimet. (A, B, C…), joihin liitetään hakemistot, joissa ensimmäinen numero osoittaa rivien lukumäärän ja toinen sarakkeiden lukumäärän.

THE rivien lukumäärä (vaakasuorat rivit) ja sarakkeita matriisin (pystysuorat rivit) määrittää sen Tilaus. Matriisin A järjestys m on n. Matriisiin sisältyviä tietoja kutsutaan elementtejä ja ne on järjestetty sulkeisiin, hakasulkeisiin tai kahteen pystypalkkiin, katso esimerkit:

Matriisissa A on kaksi riviä ja kolme saraketta, joten sen järjestys on kaksi kertaa kolme → A_2x3.

Matriisissa B on yksi rivi ja neljä saraketta, joten sen järjestys on yksi kerrallaan, joten sitä kutsutaan linjamatriisi → B_1x4.

Matriisi C: llä on kolme riviä ja yksi sarake, joten sitä kutsutaan sarakematriisi ja sen järjestys on kolme kerrallaan → C_3x1.

Voimme yleisesti edustaa taulukon elementtejä, eli voimme kirjoittaa tämän elementin matemaattisen esityksen avulla. Oyleinen elementti esitetään pienillä kirjaimilla (a, b, c…), ja kuten taulukoiden esityksessä, sillä on myös hakemisto, joka osoittaa sijaintinsa. Ensimmäinen numero osoittaa rivin, jossa elementti on, ja toinen numero osoittaa sarakkeen, jossa se sijaitsee.

Harkitse seuraavaa matriisia A, luetellaan sen elementit.

Tarkasteltaessa ensimmäistä elementtiä, joka sijaitsee ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa, eli rivillä yksi ja sarake yksi, meillä on numero 4. Kirjoittamisen helpottamiseksi merkitsemme sen seuraavasti:

₁₁ → viiva yksi elementti, sarake yksi

Joten meillä on seuraavat matriisin A elementit_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

Yleensä voimme kirjoittaa taulukon sen yleisten elementtien funktiona, tämä on yleinen matriisi.

M rivin ja n sarakkeen matriisia edustaa:

• Esimerkki

Määritä matriisi A = [a_ij ]_2x2, jolla on seuraava koulutuslaki_ij = j² - 2i. Lausetiedoista saadaan, että matriisi A on järjestyksessä kaksi kerrallaan, eli sillä on kaksi riviä ja kaksi saraketta, joten:

Lisäksi annettiin matriisinmuodostuslaki, toisin sanoen jokainen elementti on tyytyväinen suhteeseen_ij = j² - 2i. Korvaamalla kaavan i ja j arvot, meillä on:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Siksi matriisi A on:

Taulukotyypit

Jotkut matriisit ansaitsevat erityistä huomiota, katso nyt nämä tyyppiset taulukot esimerkkien avulla.

• neliömäinen matriisi

Matriisi on neliö, kun rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden määrä. Esitämme matriisia, jossa on n riviä ja n saraketta A: lla_ei (lukee: järjestyksen n neliömatriisi).

Neliömatriiseissa meillä on kaksi erittäin tärkeää elementtiä, lävistäjät: pää- ja toissijainen. Päädiagonaalin muodostavat elementit, joilla on samat indeksit, toisin sanoen se on jokainen elementti a_ij jossa i = j. Toissijainen lävistäjä muodostuu elementeistä a_ij jossa i + j = n +1, missä n on matriisijärjestys.

• identiteettimatriisi

Identiteettimatriisi on neliömäinen matriisi, jolla on kaikkisinäpäädiagonaalin elementit ovat yhtä kuin 1 ja muut elementit ovat yhtä suuria kuin 0, sen muodostumislaki on:

Merkitään tätä matriisia I: llä, missä n on neliömatriisin järjestys, katso joitain esimerkkejä:

• yksikkömatriisi

Se on järjestyksessä oleva neliömatriisi, eli sillä on rivi ja sarake, ja siksi vain yksi elementti.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 ja C = || 5 ||_1x1

Nämä ovat esimerkkejä yksikkömatriiseista, painottaen matriisia B, joka on a yksikön identiteettimatriisi.

• nolla matriisi

Taulukon sanotaan olevan nolla, jos kaikki sen elementit ovat yhtä suuret kuin nolla. Esitämme n: n nollamatriisin n: llä O: lla_mxn.

Matriisi O on nollaluokka 4.

• vastakkainen matriisi

Tarkastellaan kahta samanarvoista matriisia: A = [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn. Näitä matriiseja kutsutaan vastakkaisiksi, ja vain, jos_ij = -b_ij. Täten, vastaavien elementtien on oltava vastakkaiset numerot.

Voimme edustaa matriisia B = -A.

• transponoitu matriisi

Kaksi matriisia A = [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_nxm he ovat saatettu osaksi kansallista lainsäädäntöä jos ja vain jos_ij = b_ji , toisin sanoen, kun matriisi A on annettu, sen siirtämisen löytämiseksi ota viivat vain sarakkeina.

Matriisin A transponointi on merkitty A: lla^T. Katso esimerkki:

Katso lisää: Käänteinen matriisi: mikä se on ja miten tarkistaa

Matriisitoiminnot

N x m -matriisin yleinen esitys.

Matriisijoukolla on a: n toiminnothyvin määritelty summaus ja kertolasku, ts. aina kun käytämme kahta tai useampaa matriisia, operaation tulos kuuluu edelleen matriisijoukkoon. Entä vähennysoperaatio? Ymmärrämme tämän operaation olevan käänteinen lisäys (vastakkainen matriisi), joka on myös hyvin määritelty.

Ennen operaatioiden määrittelemistä ymmärretään vastaava elementti ja matriisien tasa-arvo. Vastaavat elementit ovat niitä, jotka ovat samassa asemassa eri matriiseissa, eli ne sijaitsevat samalla rivillä ja sarakkeessa. Matriisien on tietysti oltava samassa järjestyksessä vastaavien elementtien olemassaoloa varten. Katso:

Elementit 14 ja -14 ovat vastaavia matriisien A ja B elementtejä, koska ne ovat samassa paikassa (sama rivi ja sarake).

Kahden matriisin sanotaan olevan yhtä suuri vain ja vain, jos vastaavat elementit ovat samat. Siten matriisit A ​​= [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn, nämä ovat samat vain ja vain_ij = b_ij mihin tahansa i j: hen.

• Esimerkki

Kun tiedät, että matriisit A ​​ja B ovat samat, määritä x: n ja t: n arvot.

Koska matriisit A ​​ja B ovat samat, vastaavien elementtien on oltava samat, joten:

x = -1 ja t = 1

• Matriisien summaaminen ja vähentäminen

Toimintaa matriisien yhteenlaskeminen ja vähentäminen ne ovat melko intuitiivisia, mutta ensin edellytyksen on täytyttävä. Näiden toimintojen suorittamiseksi on ensin varmistettava, että taulukon tilaukset ovat samat.

Kun tämä ehto on varmistettu, matriisin summaaminen ja vähentäminen tapahtuu lisäämällä tai vähentämällä matriisien vastaavat elementit. Tarkastellaan matriiseja A = [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn, sitten:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Esimerkki

Tarkastellaan matriiseja A ja B alla, määritetään A + B ja A - B.

Lue myös: Kokonaislukutoiminnot

• Reaaliluvun kertominen matriisilla

Matriisissa olevan reaaliluvun (joka tunnetaan myös matriisikertona) kertominen skalaarilla saadaan kertomalla matriisin kukin osa skalaarilla.

Olkoon A = [a_ij]_mxn matriisi ja t reaaliluku, joten:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Katso esimerkki:

• Matriisin kertolasku

Matriisien kertominen ei ole yhtä triviaalia kuin niiden summaaminen ja vähentäminen. Ennen kertolaskun suorittamista on myös täytettävä ehto matriisien järjestyksestä. Tarkastellaan matriiseja A_mxn ja B_nxr.

Kertolasku suoritetaan ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien lukumäärä. Tuotematriisissa (joka saadaan kertolaskusta) on järjestys, joka annetaan rivien lukumäärällä ensimmäisessä ja sarakkeiden lukumäärällä toisessa.

Matriisien A ja B välisen kertomisen suorittamiseksi meidän on kerrottava kukin rivi kaikilla sarakkeilla seuraavasti: ensimmäinen elementti A kerrotaan B: n ensimmäisellä elementillä ja lisätään sitten A: n toiseen elementtiin ja kerrotaan B: n toisella elementillä, ja niin peräkkäin. Katso esimerkki:

Lue myös: Laplacen lause: tiedä miten ja milloin käyttää

ratkaisi harjoituksia

Kysymys 1 - (U. JA. Londrina - PR) Olkoon matriisit A ​​ja B vastaavasti 3 x 4 ja p x q, ja jos matriisilla A · B on järjestys 3 x 5, on totta, että:

a) p = 5 ja q = 5

b) p = 4 ja q = 5

c) p = 3 ja q = 5

d) p = 3 ja q = 4

e) p = 3 ja q = 3

Ratkaisu

Meillä on lausunto, että:

THE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Kahden matriisin kertomisen ehdosta on, että tulo on olemassa vain, jos ensimmäisen sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin toisen rivien lukumäärä, joten p = 4. Ja tiedämme myös, että tuotematriisin antaa ensimmäisen rivien lukumäärä ja toisen sarakkeiden lukumäärä, joten q = 5.

Siksi p = 4 ja q = 5.

A: Vaihtoehto b

Kysymys 2 - (Vunesp) Määritä x: n, y: n ja z: n arvot seuraavalla yhtälöllä, mukaan lukien 2 x 2 todellista matriisia.

Ratkaisu

Suoritetaan matriisien väliset operaatiot ja sitten niiden välinen tasa-arvo.

X: n, y: n ja z: n arvon määrittämiseksi ratkaistaan ​​lineaarinen järjestelmä. Aluksi lisätään yhtälöt (1) ja (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Korvaamalla yhtälöstä (3) löytyvän x: n arvo meillä on:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Ja lopuksi, korvaamalla yhtälössä (1) tai (2) löydetyt x: n ja z: n arvot, meillä on:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Siksi ratkaisun ongelmaan antaa S = {(2, 0, 2)}.

kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja