Kohteeseen toiminnot sarjoilla ne ovat liitto, risteys ja ero. Jokaisen näiden toimintojen tulos on uusi joukko. Joukkojen välisen liiton ilmaisemiseksi käytämme symbolia ∪; risteyksessä symboli ∩; ja eron symboli vähennyslasku\(-\). Eroavaisuuksissa on tärkeää noudattaa järjestystä, jossa toimenpide suoritetaan. Toisin sanoen, jos A ja B ovat joukkoja, ero A: n ja B: n välillä on erilainen kuin B: n ja A: n välinen ero.
Lue myös: Venn-diagrammi — joukkojen ja niiden välisten operaatioiden geometrinen esitys
Yhteenveto operaatioista sarjoilla
Operaatiot joukkojen kanssa ovat: liitto, leikkaus ja ero.
Joukkojen A ja B liitto (tai kohtaus) on joukko A ∪ B, jonka muodostavat A: lle tai B: lle kuuluvat alkiot.
\(A∪B=\{x; x∈A\ tai\ x∈B\}\)
Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko A ∩ B, jonka muodostavat A: lle ja B: lle kuuluvat alkiot.
\(A∩B=\{x; x∈A\ ja\ x∈B\}\)
Ero joukkojen A ja B välillä on joukko A – B, jonka muodostavat elementit, jotka kuuluvat A: han ja eivät kuulu B: hen.
\(A -B =\{x; x∈A\e\x∉B\}\)
Jos U (tunnetaan nimellä universumijoukko) on joukko, joka sisältää kaikki joukot tietyssä kontekstissa, erotusta U – A, jossa A ⊂ U, kutsutaan A: n komplementiksi. A: n komplementin muodostavat elementit, jotka eivät kuulu A: hen, ja sitä edustaa Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videotunti operaatioista sarjoilla
Mitkä ovat kolme operaatiota joukkojen kanssa?
Kolme operaatiota settien kanssa ovat: liitto, leikkaus ja ero.
Sarjojen liitto
Joukkojen A ja B liitto (tai kokous) on joukko A ∪ B (lue "liitto B"). Tämä joukko koostuu kaikista ryhmään A kuuluvista elementeistä tai kuuluvat joukkoon B, eli elementtejä, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista.
Esitetään elementit A ∪ B x: llä, kirjoitetaan
\(A∪B=\{x; x∈A\ tai\ x∈B\}\)
Alla olevassa kuvassa oranssi alue on aseta A ∪B.
Vaikuttaako vaikealta? Katsotaanpa kahta esimerkkiä!
Esimerkki 1:
Mikä on joukko A ∪ B, jos A = {7, 8} ja B = {12, 15}?
Joukko A ∪ B muodostuu A: hen kuuluvista alkioista tai kuuluvat B: lle. Koska alkiot 7 ja 8 kuuluvat joukkoon A, niin molempien tulee kuulua joukkoon A ∪ B. Lisäksi, koska alkiot 12 ja 15 kuuluvat joukkoon B, niin molempien tulee kuulua joukkoon A ∪ B.
Siksi,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Huomaa, että jokainen A∪B: n alkioista kuuluu joko joukkoon A tai joukkoon B.
Esimerkki 2:
Tarkastellaan joukot A = {2, 5, 9} ja B = {1, 9}. Mikä on joukko A ∪ B?
Koska alkiot 2, 5 ja 9 kuuluvat joukkoon A, tulee niiden kaikkien kuulua joukkoon A∪B. Lisäksi, koska alkiot 1 ja 9 kuuluvat joukkoon B, niin niiden kaikkien tulee kuulua joukkoon A ∪ B.
Huomaa, että mainitsimme 9 kahdesti, koska tämä elementti kuuluu joukkoon A ja joukkoon B. Sanotaan, että "joukko A ∪ B muodostuu A: lle kuuluvista alkioista tai kuuluvat B: hen” ei sulje pois elementtejä, jotka kuuluvat samanaikaisesti joukkoihin A ja B.
Joten tässä esimerkissä meillä on
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Huomaa, että kirjoitamme elementin 9 vain kerran.
Joukkojen risteys
Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko A ∩ B (lue ”Leikkaus B”). Tämä joukko koostuu kaikista ryhmään A kuuluvista elementeistä se on kuuluvat joukkoon B. Toisin sanoen A ∩ B koostuu joukkojen A ja B yhteisistä elementeistä.
Ilmoittamalla A ∩ B alkiot x: llä, kirjoitetaan
\(A∩B=\{x; x∈A\ ja\ x∈B\}\)
Alla olevassa kuvassa oranssi alue on aseta A ∩B.
Ratkaistaan kaksi esimerkkiä joukkojen leikkauspisteestä!
Esimerkki 1:
Oletetaan, että A = {-1, 6, 13} ja B = {0, 1, 6, 13}. Mikä on joukko A ∩ B?
Joukko A ∩ B muodostuu kaikista joukkoon A kuuluvista alkioista se on kuuluvat joukkoon B. Huomaa, että elementit 6 ja 13 kuuluvat samanaikaisesti joukkoihin A ja B.
Kuten tämä,
A ∩ B={6, 13}
Esimerkki 2:
Mikä on joukkojen A = {0,4} ja leikkauspiste \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Huomaa, että joukkojen A ja B välillä ei ole yhteistä elementtiä. Siten leikkauspiste on joukko ilman elementtejä, eli tyhjä joukko.
Siksi,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Ero sarjojen välillä
Ero joukkojen A ja B välillä on joukko A – B (lue "ero A: n ja B: n välillä"). Tämä setti koostuu kaikki alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A ja eivät kuulu joukkoon B.
Kuvaamalla A – B elementit x: llä, kirjoitamme
\(A-B=\{x; x∈A\ ja\ x∉B\}\)
Alla olevassa kuvassa oranssi alue on sarja A - B.
Huomio: Ero joukkojen A ja B välillä ei ole ero joukkojen B ja A välillä, koska B – A muodostuu kaikista joukosta B kuuluvista alkioista, jotka eivät kuulu joukkoon A.
Harkitse kahta alla olevaa esimerkkiä joukkojen välisistä eroista.
Esimerkki 1:
Jos A = {-7, 2, 100} ja B = {2, 50}, mikä on joukko A – B? Entä sarja B – A?
SettiA-B koostuu kaikista ryhmään A kuuluvista elementeistä se onei kuuluvat joukkoon B. Huomaa, että 2 on ainoa elementti joukossa A, joka kuuluu myös joukkoon B. Näin ollen 2 ei kuulu joukkoon A – B.
Siksi,
A – B = {-7, 100}
Lisäksi joukon B – A muodostavat kaikki joukkoon B kuuluvat alkiot se onei kuuluvat joukkoon A. Siksi,
B – A = {50}
Esimerkki 2:
Mitä eroa on joukolla A = {–4, 0} ja joukolla B = {–3}?
Huomaa, että mikään A: n elementeistä ei kuulu B: hen. Siten ero A – B on itse joukko A.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Havainto: Oletetaan, että U (kutsutaan universumijoukoksi) on joukko, joka sisältää kaikki muut joukot tietyssä tilanteessa. Kuten tämä, ero U–A, kanssa A⊂U, on joukko, jota kutsutaan komplementtiksi A: lle ja kuvattuna \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Seuraavassa kuvassa suorakulmio on universumijoukko ja oranssi alue on universumijoukko \(B.C\).
Tietää enemmän: Askel askeleelta, kuinka tehdä jako
Ratkaistiin harjoituksia sarjaoperaatioista
Kysymys 1
Tarkastellaan joukot A = {–12, –5, 3} ja B = {–10, 0, 3, 7} ja luokittele jokainen alla oleva väite T (tosi) tai F (epätosi).
minä A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Oikea järjestys ylhäältä alas on
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Resoluutio
minä Väärä.
Elementin 0 tulee kuulua A: n ja B: n liittoon, koska 0 ∈ B. Siten A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Totta.
III. Totta.
Vaihtoehto B.
Kysymys 2
Otetaan A = {4, 5}, B = {6,7} ja C = {7,8}. Sitten joukko A ∪ B ∩ C on
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Resoluutio
Huomaa, että A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Siksi joukko A ∪ B ∩ C on leikkauspiste välillä A ∪ B = {4, 5, 6, 7} ja C = {7,8}. Pian,
A ∪ B ∩ C = {7}
Vaihtoehto A.
Lähteet
LIMA, Elon L.. Analyysikurssi. 7 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et ai. Lukion matematiikka. 11. toim. Matematiikan opettajan kokoelma. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.