Se tunnetaan nimellä järkevä luku jokainen numero voidaan esittää pelkistämättömänä murto-osana. Koko ihmishistorian aikana ajatusta luvusta on kehitetty vähitellen ihmisten tarpeiden mukaisesti. Esimerkiksi numeroiden esitys murto-osina ratkaisi ongelmat, jotka ratkaistiin vain kokonaislukuja.
Rationaaliluku voidaan esittää murtoluvusta, joten on olemassa menetelmiä kokonaislukujen muuntamiseksi, desimaaliluvut tarkat ja jaksolliset desimaalit murto-osina.
Lue myös: Murtolukuoperaatiot - miten ratkaista?
Mitä ovat rationaaliluvut?
Rationaaliluvut ovat kokonaislukujoukon laajeneminen, sitten lisättiin kokonaislukujen lisäksi kaikki jakeet. O aseta rationaalilukuja edustaa:
Tämän esityksen mukaan luku on järkevä, jos se voidaan esittää murtolukuna noin B, sellainen on kokonaisluku ja B on nollasta poikkeava kokonaisluku. Mutta jos aiomme määritellä rationaaliluvut vähemmän tarkasti, voimme sanoa seuraavat:
Rationaaliluvut ovat kaikkia numeroita, jotka voidaan esittää murto-osina. |
Täytä tämä määritelmä:
sinä kokonaislukujas, esimerkiksi: -10, 7, 0;
sinä tarkat desimaaliluvutesimerkiksi: 1,25; 0,1; 3,1415;
klo yksinkertainen määräajoin kymmenyksetesimerkiksi: 1.424242…;
klo yhdistetyt jaksolliset kymmenyksetesimerkiksi: 1.0288888…
Ei ovat rationaalilukuja:
Klo ei-jaksolliset kymmenyksetesimerkiksi: 4 1239489201…;
Klo juuretei tarkka, esimerkiksi:
;- THE sammakkoiz neliö negatiiviset luvut, esimerkiksi:
.
Havainto: Ei-rationaalisten lukujen olemassaolo saa aikaan muita joukoita, kuten irrationaaliset numerot ja kompleksiluvut.
Rationaalilukujen esitys
Ymmärtäminen, että murtoluku on a jako kahdesta kokonaisluvusta, jotta se olisi järkevä luku, voit edustaa tätä lukua murto-osana. Siksi kukin edellä rationaalilukuina mainituista tapauksista (kokonaisluvut, tarkat desimaalit ja jaksolliset desimaalit) voidaan esittää murto-osina.
kokonaislukuja
On olemassa rajattomat mahdollisuudet esittää kokonaisluku murtolukuna, koska murtoluku voidaan esittää pelkistämättömässä muodossa tai ei.
Esimerkkejä:
tarkat desimaalit
Tarkan desimaaliluvun muuttaminen a: ksi murto-osa, laskemme lukumäärän sen desimaaliosassa eli desimaalipilkun jälkeen. Jos pilkun jälkeen on luku, kirjoitamme kokonaislukuosan ja desimaaliosan ilman pilkua yli 10. Jos desimaaliosassa on kaksi lukua yli 100, käytännössä desimaaliosan numeroiden määrä on nimittäjissä olevien nollien määrä. Katso esimerkki:
määräajoin kymmenykset
Kymmenysten murto-osan löytäminen ei ole aina helppo tehtävä, mitä me kutsumme tuottaa jakeen. Tämän työn helpottamiseksi havaittiin, että yhtälössä, jota käytimme generoivan jakeen löytämiseen, on säännönmukaisuuksia, jotka mahdollistivat käytännön menetelmän kehittämisen.
Ensinnäkin meidän on ymmärrettävä, että säännöllisiä kymmenyksiä on kahdenlaisia, yksinkertaisia ja yhdistettyjä. Yksi kymmenykset ovat yksinkertaisia jos desimaaliosassa on vain osa, joka toistetaan, eli jakso. Yksi kymmenykset ovat yhdisteitä jos desimaaliosassa on ei-jaksollinen osa.
Esimerkki:
9,323232… → yksinkertainen jaksollinen desimaali
Kokonaisluku on 9.
Aika on 32.
8,7151515… → yhdistetty jaksollinen kymmenys
Kokonaisluku on 8.
Ei-jaksollinen desimaaliosa on yhtä suuri kuin 7.
Aika on yhtä suuri kuin 15.
Katso myös: Vastaavat jakeet - jakeet, jotka edustavat samaa määrää
→ 1. tapaus: generoidaan murto-osa yksinkertaisesta jaksollisesta desimaalista
Ensimmäisessä tapauksessa muuta yksinkertainen jaksollinen desimaali murto-osaksi kirjoita käytännön menetelmällä vain koko osa plus jakso ilman pilkua osoittajaan. Nimittäjään lisätään jokaiselle jaksollisen osan elementille 9.
Esimerkki:
9.323232: n generoivalla murtoluvulla, kuten olemme nähneet, on jakso, joka on yhtä suuri kuin 32, eli kaksi lukua jaksossaan, joten nimittäjä on 99. Kokonaislukuosa ja jaksollinen osa ilman pilkua on 932, joka on osoittaja. Joten tämän kymmenyksen tuottava osa on:
→ 2. tapaus: yhdistetyn jaksollisen desimaalin muodostaminen
Jaksollinen yhdistetty kymmenys on hieman työläs. Löydetään esimerkissä käsittelemämme kymmenyksen tuottava osa.
8,7151515… → yhdistetty jaksollinen desimaali.
Kokonaisluku on 8.
Ei-jaksollinen desimaaliosa on yhtä suuri kuin 7.
Desimaaliosa jaksosta on yhtä suuri kuin 15.
Osoitin on vähennyslasku 8715 - 87, toisin sanoen koko luvun jaksolliseen osaan menevän numeron ja kymmenyksen ei-toistuvan osan välinen ero.
Osoittaja on yhtä suuri kuin 8715 - 87 = 8628.
Etsitään nimittäjä analysoimalla desimaaliosa. Tarkastellaan ensin ei-jaksollista ja jaksollista desimaaliosaa. Tässä tapauksessa luvun desimaaliosa on 715. Lisätään jokaiselle jaksollisessa osassa olevalle numerolle a 9 nimittäjän alussa. Koska jaksollisella osalla on tässä tapauksessa kaksi numeroa (15), nimittäjässä on kaksi yhdeksää. Kullekin desimaaliosan numerolle, joka ei ole jaksollinen, lisätään a 0 nimittäjän lopussa, mikä tulee olemaan 990.
Pian tuottaa jakeen kymmenykset ovat:
Rationaalilukujen ominaisuudet
Kahden rationaaliluvun välillä on aina toinen rationaaliluku
On mielenkiintoista ajatella tätä ominaisuutta, josta muinaiset kansat keskustelivat paljon ja josta on tullut paradoksi. Kun valitset kaksi järkevää numeroa, niiden välillä on aina luku.
Esimerkki:
Välillä 1 ja 2 on 1,5; välillä 1 ja 1,5 on 1,25; 1: n ja 1,25: n välillä on 1,125 ja niin edelleen. Niin paljon kuin valitsen kaksi järkevää numeroa, joiden välillä on hyvin pieni ero, niiden välillä on aina mahdollista löytää järkevä luku. Tämä ominaisuus tekee seuraajaa ja edeltäjää on mahdotonta määritellä järkevinä numeroina.
Rationaalilukujen neljä operaatiota on suljettu
Sanomme, että sarja on suljettu summaesimerkiksi, jos kahden rationaaliluvun summa tuottaa aina toisen rationaaliluvun vastaukseksi. Näin tapahtuu Q: n neljän operaation kanssa.
THE yhteenlasku, vähennyslasku, jako ja kertolasku kahden rationaaliluvun välillä johtaa aina rationaaliluku. Itse asiassa jopa tehostaminen rationaaliluvun määrä tuottaa aina rationaaliluvun vastauksena.
Rationaalilukujen joukko ei ole suljettu säteily. Täten, mkoska 2 on rationaaliluku, 2: n neliöjuuri on a irrationaalinen numero.
Katso myös: Vastaavat jakeet - jakeet, jotka edustavat samaa määrää
Rationaalilukujen alajoukot
Tiedämme miten osajoukot tai inkluusiosuhde joukot, jotka muodostavat rationaalilukujoukkoon kuuluvat elementit. Alaryhmiä on useita, kokonaislukuina tai luonnollinen, koska jokainen kokonaisluku on järkevä, aivan kuten jokainen luonnollinen luku on järkevä.
Esimerkki:
Lukujoukko: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Kun näin tapahtuu, sanomme sen Z ⸦ Q (Siinä lukee: Z sisältyy Q: hin tai kokonaislukujoukko rationaalilukuihin.)
On joitain symboleja, jotka ovat välttämättömiä Q-osajoukkojen luomiseksi, ne ovat: +, - ja *, jotka tarkoittavat vastaavasti positiivista, negatiivista ja ei-nollaa.
Esimerkkejä:
Q * → (lukee: joukko ei-nolla rationaalilukuja.)
Q+ → (lukee: positiivisten rationaalilukujen joukko.)
Q- → (lukee: negatiivisten rationaalilukujen joukko.)
Q*+ → (lukee: positiivisten ja nollasta poikkeavien rationaalilukujen joukko.)
Q*- → (lukee: negatiivisten ja nollasta poikkeavien rationaalilukujen joukko.)
Huomaa, että kaikki nämä joukot ovat Q: n osajoukkoja, koska kaikki elementit kuuluvat rationaalilukujoukkoon. Esitettävien joukkojen lisäksi voimme työskennellä Q: n useiden osajoukkojen kanssa, kuten parittomien numeroiden muodostaman joukon tai serkut, tai pareittain, lopuksi on olemassa useita ja useita osajoukkojen mahdollisuuksia.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm