Tiedämme miten polynomi lauseke, joka osoittaa monomeelien algebrallisen summan, jotka eivät ole samanlaisia, toisin sanoen polynomi on yksi algebrallinen lauseke monomiaalien välillä. Monomium on algebrallinen termi, jolla on kerroin ja kirjaimellinen osa.
Kun polynomien välillä on samanlaisia termejä, on mahdollista suorittaa sen ehtojen vähentäminen lisäksi ja / tai vähentämällä kaksi polynomia. On myös mahdollista kertoa kaksi polynomia jakautuvan ominaisuuden kautta. Jako suoritetaan käyttäen avaimet -menetelmää.
Lue myös: Polynomiyhtälö - Yhtälö, jolle on tunnusomaista polynomin arvo 0
Mitä ovat monomiaalit?
Polynomin ymmärtämiseksi on tärkeää ensin ymmärtää monomiaalin merkitys. Algebrallinen lauseke tunnetaan monomiumina, kun se on numerot ja kirjaimet sekä niiden eksponentit erotettu vain kertomalla. Numero tunnetaan kertoimena, ja kirjaimet ja niiden eksponentit tunnetaan kirjaimena.
Esimerkkejä:
2x² → 2 on kerroin; x² on kirjaimellinen osa.
√5ax → √5 on kerroin; kirves on kirjaimellinen osa.
b³yz² → 1 on kerroin; b³yz² on kirjaimellinen osa.
Mikä on polynomi?
Polynomi ei ole muuta kuin algebrallinen summa monomeereja, toisin sanoen, ne ovat enemmän monomeereja, jotka on erotettu toisistaan lisäämällä tai vähentämällä.
Esimerkkejä:
ax² + + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Yleisesti ottaen polynomilla voi olla useita termejä, sitä edustaa algebrallisesti:
eixei +(n-1) x(n-1) +… +2x² + a1x + a
Katso myös: Mitkä ovat polynomien luokat?
polynomin aste
Polynomin asteen löytämiseksi erotetaan se kahteen tapaukseen, kun sillä on yksi muuttuja ja kun sillä on enemmän muuttujia. Polynomin asteen antaa molemmissa tapauksissa suurimpien sen monomeerien aste.
On melko yleistä työskennellä polynomin kanssa, jolla on vain yksi muuttuja. Kun niin tapahtuu, O suurempi monomium tutkinto mikä osoittaa tutkinnon polynomin on yhtä suuri kuin muuttujan suurin eksponentti:
Esimerkkejä:
Yhden muuttujan polynomit
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → huomaa, että muuttuja on x ja suurin sen eksponentti on 3, joten tämä on asteen 3 polynomi.
b) 2v5 + 4y² - 2y + 8 → muuttuja on y ja suurin eksponentti on 5, joten tämä on asteen 5 polynomi.
Kun polynomissa on useampi kuin yksi muuttuja monomiaalissa, tämän termin asteen löytäminen on välttämätöntä lisätä-jos kunkin muuttujan eksponenttien aste. Siten polynomin aste on tässä tapauksessa edelleen yhtä suuri kuin suurimman monomiaalin aste, mutta on välttämätöntä huolehtia kunkin monomuunin muuttujien eksponenttien lisäämisestä.
Esimerkkejä:
a) 2xy + 4x2y3 - 5y4
Analysoimalla jokaisen termin kirjaimellinen osa, meidän on:
xy → luokka 2 (1 + 1)
x²y³ → aste 5 (2 + 3)
y³ → luokka 3
Huomaa, että suurimmalla termillä on aste 5, joten tämä on asteen 5 polynomi.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Jokaisen monomiumin kirjaimellisen osan analysointi:
a²b → luokka 3 (2 + 1)
ab² → tutkinto 2 (1 + 1)
a²b² → luokka 4 (2 + 2)
Siten polynomilla on aste 4.
Polynomien lisääminen
Kohteeseen kahden polynomin välinen summa, suoritetaan vastaavien monomeerien vähentäminen. Kaksi monomiaalia ovat samanlaisia, jos niillä on sama kirjaimellinen osa. Kun näin tapahtuu, on mahdollista yksinkertaistaa polynomia.
Esimerkki:
Olkoon P (x) = 2x² + 4x + 3 ja Q (x) = 4x² - 2x + 4. Etsi arvon P (x) + Q (x) arvo.
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Samankaltaisten termien löytäminen (joilla on samat kirjaimelliset osat):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Lisätään nyt samanlaiset monomiaalit:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynominen vähennyslasku
Vähennyslasku ei eroa paljoakaan lisäyksestä. Tärkeä yksityiskohta on se ensin meidän on kirjoitettava päinvastainen polynomi ennen vastaavien termien yksinkertaistamista.
Esimerkki:
Tiedot: P (x) = 2x² + 4x + 3 ja Q (x) = 4x² - 2x + 4. Laske P (x) - Q (x).
Polynomi -Q (x) on Q (x): n vastakohta, jotta löydettäisiin Q (x): n vastakohta, käännä vain kunkin sen termin merkki, joten meidän on:
-Q (x) = -4x2 + 2x - 4
Sitten laskemme:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Yksinkertaistamalla samankaltaisia ehtoja meillä on:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynomikertoja
Kahden polynomin kertomisen suorittamiseksi käytämme tunnettua jakava omaisuus kahden polynomin välillä, jolloin ensimmäisen polynomin monomiaalit kerrotaan toisen polynomien kanssa.
Esimerkki:
Olkoon P (x) = 2a² + b ja Q (x) = a3 + 3ab + 4b². Laske P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Levitysominaisuutta sovellettaessa meillä on:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Jos sellaisia on, voimme yksinkertaistaa samanlaisia termejä:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Huomaa, että ainoat samanlaiset monomalit on korostettu oranssilla, yksinkertaistamalla niiden välillä, vastauksena on seuraava polynomi:
2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Pääsy myös: Kuinka tehdä algebrallinen murto-kertolasku?
polynomijako
suorittaa polynomien jakaminen voi olla melko työlästä, käytämme mitä kutsutaan avaimet menetelmä, mutta tähän on useita menetelmiä. Kahden polynomin jakaminen se on mahdollista vain, jos jakajan aste on pienempi. Jakamalla polynomi P (x) polynomilla D (x) etsimme polynomia Q (x) siten, että:
Siten jakoalgoritmilla meillä on: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → osinko
D (x) → jakaja
Q (x) → osamäärä
R (x) → loput
Jaosta käytettäessä polynomi P (x) on jaettavissa polynomilla D (x), jos loppuosa on nolla.
Esimerkki:
Toimitaan jakamalla polynomi P (x) = 15x² + 11x + 2 polynomilla D (x) = 3x + 1.
Haluamme jakaa:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. vaihe: jaamme osingon ensimmäisen monomiumin jakajan ensimmäisen kanssa:
15x2: 3x = 5x
2. vaihe: kerrotaan 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x ja vähennetään P (x): n tulos. Vähennyksen suorittamiseksi on välttämätöntä kääntää kertolaskujen merkit kääntämällä polynomi:
3. vaihe: suoritamme vähennystuloksen ensimmäisen termin jakamisen jakajan ensimmäisellä termillä:
6x: 3x = 2
4. vaihe: joten meillä on (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Siksi meidän on:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Lue myös: Briot-Ruffinin käytännöllinen laite - polynomien jakaminen
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - Minkä arvon m pitäisi olla, jotta polynomilla P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m olisi astetta 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Resoluutio
Vaihtoehto A
Jotta P (x): llä olisi aste 2, kertoimen x3 on oltava nolla ja kertoimen x² on oltava erilainen kuin nolla.
Joten teemme:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Toisaalta meillä on m + 3 ≠ 0.
Joten m ≠ -3.
Ensimmäisen yhtälön ratkaisuna on siis, että m = 3 tai m = -3, mutta toisella meillä on m ≠ -3, joten ainoa ratkaisu, joka saa P (x): n asteiksi 2, on: m = 3.
Kysymys 2 - (IFMA 2017) Kuvan ympärys voidaan kirjoittaa polynomilla:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resoluutio
Vaihtoehto D
Kun analysoimme annettua pituutta ja leveyttä kuvasta, tiedämme, että kehä on kaikkien sivujen summa. Koska pituus ja korkeus ovat samat, kerrotaan vain annettujen polynomien summa 2: lla.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 (6x + 5) = 12x + 10
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
