O katkaistu kartiotilavuus on tämän pyöreän kappaleen käyttämä tila. Koska säteisen R kartion poikkileikkaus tuottaa pienemmän säteisen kartion r ja katkaistu kartio, näiden kolmen kiinteän aineen tilavuudet ovat suhteessa toisiinsa.
Lue myös: Kuinka laskea pyramidin runko
Yhteenveto katkaistun kartion tilavuudesta
- Kartio, jonka säde on R leikattu poikittain korkeudelta H Perustaso on jaettu kahteen geometriseen kappaleeseen: sädekartioon r se on runkokartio.
- Katkaistun kartion pääelementit ovat korkeus H, pienin säteen kanta r ja suurempi kanta, jonka säde on R.
- Katkaistun kartion tilavuus on säteisen R kartion tilavuuden ja säteisen kartion tilavuuden välinen ero r.
- Katkaistun kartion tilavuuden kaava on:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Videotunti katkaistun kartion tilavuudesta
Mitkä ovat katkaistun kartion elementit?
Säteisen R oikeanpuoleisen kartion leikkauksesta muodostetun katkaistun kartion elementit ovat:
- pieni pohja – sädeympyrä r, saatu säteen R: n kartion leikkauksesta.
- isompi pohja – kartion pyöreä kanta, jonka säde on R .
- Korkeus (h) – tukien tasojen välinen etäisyys.
- Generatrix – segmentti, jonka päät ovat kehällä, joka rajaa pohjat.
A alla oleva kuva esittää katkaistun kartion elementit. Huomaa, että ala- ja pääkanta ovat rinnakkaiset.
Trunk of Cone Volume Formula
Seuraavaksi päätellään kaava katkaistun korkeuden tilavuudelle H, pienempi pohjasäde r ja suurimman kannan R säde.
Oletetaan, että kartion poikkileikkaus, jonka säde on R ja korkeus H1 tuottaa kaksi kiinteää ainetta:
- salaman kartio r ja korkeus H2 se on
- korkea runkokartio H .
tajuta että \(H_1=H_2+h\).
Säteisen R kartion tilavuutta (jota kutsumme suuremmaksi kartioksi) edustaa VR; sädekartion tilavuus r (jota kutsumme pienemmäksi kartioksi), kirjoittanut Vr; ja katkaistun kartion tilavuus Vt: llä. Siksi:
\(V_R=V_r+V_t\)
Ota huomioon, että:
- \(V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Havainto: VR ja Vr ovat kartioiden tilavuuksia. Tarkista tämä asia napsauttamalla tässä.
Kuten tämä:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
H2-termi vastaa pienemmän kartion korkeutta. Suhteuttamalla kartioiden korkeudet jalustan vastaaviin säteisiin, voimme saada kaavan rungon tilavuudelle, joka riippuu vain rungon elementeistä (R, r se on H).
Suuremman kartion säteen ja korkeuden yhdistäminen (R ja H1 ) pienemmän kartion säteellä ja korkeudella (r ja H2), meillä on seuraava suhde:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Pian, voimme kirjoittaa rungon tilavuuden uudelleen Vt seuraavasti:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Kuten tämä, Katkaistun kartion tilavuuden kaava on:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Lue myös: Erilaisten geometristen kiinteiden aineiden tilavuuskaavat
Kuinka laskea katkaistun kartion tilavuus?
Katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi korvaa vain korkeusmitat, pienemmän pohjan säde ja suuremman pohjan säde kaavassa.
- Esimerkki: Mikä on katkaistun kartion tilavuus kuutiosenttimetreinä, jossa suuremman kannan säde on R = 5 cm, pienemmän pohjan säde on r = 3 ja korkeus on h = 2 cm? (Käytä π=3 )
Korvaamalla tiedot kaavassa, meillä on:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t = 98 cm³\)
Ratkaistiin harjoituksia katkaistun kartion tilavuudesta
Kysymys 1
Ruukun muoto on katkaistu kartio, jonka pohjan suurin säde R = 8 cm, pienin pohjan säde r = 4 ja korkeus h = 2 cm. Tämän ruukun tilavuus cm³: na on:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Resoluutio
Korvaamalla tiedot kaavassa, meillä on:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Vaihtoehto D
kysymys 2
(Enem 2021) Yksi henkilö osti mukin juotavaksi keittoa kuvan mukaisesti.
Tiedetään, että 1 cm³ = 1 ml ja että mukin yläosa on ympyrä, jonka halkaisija (D) on 10 cm, ja pohja on ympyrä, jonka halkaisija (d) on 8 cm.
Lisäksi tiedetään, että tämän mukin korkeus (h) on 12 cm (ylä- ja alaympyrän keskipisteen välinen etäisyys).
Käytä 3:a π: n approksimaationa.
Mikä on tämän mukin tilavuus millilitroina?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Resoluutio
Mukin muoto on katkaistu kartio, jossa yläosa on suurempi pohja. Myös R=5, r = 4 cm ja H = 12. Pian:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t = 732 cm³\)
Koska 1 cm³ = 1 ml, meillä on 732 cm³ = 732 ml.
Vaihtoehto C
Lähteet:
Dante, L. R. Matematiikka: konteksti ja sovellukset - Lukio. 3. toim. São Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Ei. Alkeismatematiikan perusteet, Vol 10: Spatial Geometry - Position and Metric. 7 ed. Santos: Nykyinen, 2013.
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
