Algebrallinen murto-osan yksinkertaistaminen

Aina kun sanaa ”algebrallinen” käytetään numeeriseen lausekkeeseen, se tarkoittaa sitä, että kyseinen lauseke on ainakin yksi tuntematon, eli kirjain tai symboli, jota käytetään numeron edustamiseen tuntematon. Siten a algebrallinen murtopuolestaan ​​ei ole muuta kuin murtoluku, jolla on ainakin yksi tuntematon nimittäjä (jakeen alaosa). Siksi algebrallisten murtolukujen yksinkertaistaminen noudattaa samaa perustaa kuin numeeristen murto-osien yksinkertaistaminen.

Esimerkkejä algebrallisista murto-osista ovat:

1)

2x
4v

2)

4v² - 9x²
2v + 3x

Algebrallisten murtolukujen yksinkertaistaminen

Algebrallisen murto-osan yksinkertaistaminen noudattaa samaa perustaa kuin numeerisen murto-osan yksinkertaistaminen. Osoitin ja nimittäjä on jaettava samalla luvulla. Huomaa esimerkki murto-osan yksinkertaistamisesta:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Edellä olevaa jaetta yksinkertaistettiin 2: lla, sitten 3: lla ja sitten 5: llä. Tukea algebrallisten murtolukujen yksinkertaistaminen, kirjoitamme ensimmäisen yllä olevan murto-osan uudelleen sen muodossa:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Huomaa, että numerot 2, 3 ja 5 toistetaan osoittajassa ja nimittäjässä ja että ne olivat täsmälleen samat numerot, joilla murto yksinkertaistettiin. Ohjelman yhteydessä algebralliset jakeet, menettely on samanlainen kuin se on on tarpeen laskea osoittajassa ja nimittäjässä olevat polynomit. Sen jälkeen meidän on arvioitava, voidaanko joitain niistä yksinkertaistaa.

Esimerkkejä

1) Yksinkertaista seuraava algebrallinen murto:

4x²y³
16xy⁶

Kerroin jokaisessa murto-osassa olevasta tuntemattomasta ja luvusta:

4x²y³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Suorita nyt mahdollisimman monta jakoa, kuten aiemmin teitkin numeerisen murto-osan kohdalla: Numerot, jotka näkyvät sekä osoittaja että nimittäjä katoavat, eli ne ovat "leikata". On myös mahdollista kirjoittaa, että jokaisen yksinkertaistamisen tulos on 1. Katsella:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

x
2 · 2 · y · y · y

x
4v³

2) Yksinkertaista seuraava algebrallinen murto:

4v² - 9x²
2v + 3x

Huomaa, että tämän osoittaja algebrallinen murto kuuluu yhteen merkittävien tuotteiden tapauksista, toisin sanoen kahden neliön ero. Ottaaksesi sen huomioon, kirjoita se vain muokattuun muotoonsa. Sen jälkeen on mahdollista "leikata" termit, jotka esiintyvät sekä nimittäjässä että osoittajassa, kuten edellisessä esimerkissä. Katsella:

4v² - 9x²
2v + 3x

= (2v + 3x) (2v-3x)
2v + 3x

= 1 · (2v - 3x)

= 2v + 3x

3) Yksinkertaista seuraava algebrallinen murto:

²(y² - 16x²)
ay + 4ax

Kuten aiemmin on tehty, huomioi laskurissa ja nimittäjässä olevat polynomit. Suorita sen jälkeen mahdolliset jakamiset.

²(y² - 16x²)
ay + 4ax

= ··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

Huomaa, että osoitin on otettu huomioon kahden neliön ero ja nimittäjä otettiin huomioon yhteisen tekijän kautta. Lisäksi termi a² voidaan kirjoittaa tuotteeksi a · a. Suorita lopuksi mahdollisimman monta jakoa. Nimittäin a a: lla ja (y + 4x): lla (y + 4x):

··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1 · 1 · (y - 4x)

= y - 4x

Faktorointitapaukset ovat ensiarvoisen tärkeitä algebrallisten murtolukujen yksinkertaistamiseksi. Alla on lueteltu tärkeimmät tapaukset ja joitain sivuja, joista ne löytyvät tarkemmin.

Algebrallisten lausekkeiden faktointi

Polynomi voidaan kirjoittaa porrastetussa muodossaan, jos se voidaan ilmaista yhdessä alla olevista neljästä muodosta. Esitetyt tulokset ovat niiden laskettu muoto tai esimerkkejä siitä, miten ne otetaan huomioon:

1 - Yhteinen tekijä

Jos kaikilla polynomin termeillä on tuntematon tai jokin yhteinen numero, on mahdollista laittaa ne todisteiksi. Esimerkiksi 4x polynomissa² + 2x voimme todistaa 2x. Tulos on:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Huomaa, että kun suoritetaan toisessa jäsenessä (tasa-arvon oikealla puolella) ilmoitettu kertolasku, tulos on tarkalleen ensimmäinen jäsen (tasa-arvon vasen puoli), johtuen kertolasku.

2 - Ryhmittely

Edellisen tapauksen vuoksi polynomi, jolla on neljä termiä, voidaan ottaa huomioon ryhmittelemällä, yhdistämällä yhteiset termit kaksi kerrallaan, ja myöhemmin ne otetaan uudelleen huomioon, jos tulokset jättävät tämän mahdollisuus. Esimerkiksi polynomin 2x + bx + 2y + voidaan laskea seuraavasti:

2x + bx + 2v + mennessä

x (2 + b) + y (2 + b)

Huomaa, että (2 + b) toistuu molemmilla uusilla termeillä. Joten voimme todistaa sen:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - Täydellinen nelikulmainen kolmiulotteinen

Aina kun polynomi on täydellinen neliön muotoinen trinomi, se kirjoitetaan vastaamaan yhtä seuraavista kolmesta vasemmalla ja punaisella järjestetystä lausekkeesta.

x² + 2x + a² = (x + a) (x + a)

x² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

x² - a² = (x + a) (x - a)

Oikea puoli on polynomin laskettu muoto, jota voidaan käyttää algebrallinen murto-osien yksinkertaistaminen.

4 - Kahden kuution summa tai ero

Aina kun polynomi on seuraavassa muodossa tai se voidaan kirjoittaa siihen, se on kahden kuution summa.

x³ + 3x²+ 3x² +³ = (x + a)³

x³ - 3x²+ 3x² - a³ = (x - a)³

Jälleen vasen puoli, punainen, on polynomi, joka voidaan laskea ja kirjoittaa kuten oikeanpuoleiset lausekkeet.

Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm