O pallon tilavuus on tämän viemä tila geometrinen kiinteä. Säteen läpi pallo - eli keskustan ja pinnan välisestä etäisyydestä - on mahdollista laskea sen tilavuus.
Lue myös: Geometristen kiintoaineiden tilavuus
Yhteenveto pallon tilavuudesta
Pallo on a pyöreä runko saatu kiertämällä puoliympyrää halkaisijan sisältävän akselin ympäri.
Kaikki pallon pisteet ovat yhtä suurella tai pienemmällä etäisyydellä kuin r pallon keskustasta.
Pallon tilavuus riippuu säteen mittasta.
Pallon tilavuuden kaava on \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Videotunti pallon tilavuudesta
Mikä on pallo?
Tarkastellaan avaruuden pistettä O ja janaa, jonka mitta on r. pallo on kiintoaine, jonka muodostavat kaikki pisteet, jotka ovat yhtä suurella tai pienemmällä etäisyydellä kuin r: stä O. Kutsumme O: ta pallon keskipisteeksi ja r: tä pallon säteeksi.
pallo voidaan myös luonnehtia vallankumouksen kiinteäksi aineeksi. Huomaa, että puoliympyrän pyörittäminen halkaisijan sisältävän akselin ympäri muodostaa pallon:
Pallon tilavuuskaava
Laskeaksemme pallon tilavuuden V käytämme alla olevaa kaavaa, jossa r on pallon säde:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
On tärkeää tarkkailla mittayksikkö säde tilavuuden mittayksikön määrittämiseksi. Esimerkiksi jos r on annettu senttimetreinä, tilavuus on annettava cm³: na.
Kuinka laskea pallon tilavuus?
Pallon tilavuuden laskenta riippuu vain säteen mittauksesta. Katsotaanpa esimerkkiä.
Esimerkki: Käytä likiarvoa π = 3 ja löydä halkaisijaltaan 24 senttimetriä olevan koripallon tilavuus.
Koska halkaisija on kaksi kertaa säde, r = 12 cm. Käytämme pallon tilavuuden kaavaa
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V = 6 912\ cm^3\)
sfäärialueet
Tarkastellaan palloa, jonka keskipiste on O ja säde r. Kuten tämä, voimme tarkastella kolmea aluetta tästä sfääristä:
Sisäalueen muodostavat pisteet, joiden etäisyys keskustasta on pienempi kuin säde. Jos P kuuluu pallon sisäalueelle, niin
\(D(P, O)
Pinta-alueen muodostavat pisteet, joiden etäisyys keskustasta on yhtä suuri kuin säde. Jos P kuuluu pallon pinta-alueeseen, niin
\(D(P, O)=r\)
Ulkoalueen muodostavat pisteet, joiden etäisyys keskustasta on suurempi kuin säde. Jos P kuuluu pallon sisäalueelle, niin
\(D(P, O)>r\)
Tästä johtuen pallon ulomman alueen pisteet eivät kuulu palloon.
Tietää enemmän: Pallomainen korkki – kiinteä aine, joka saadaan, kun pallo leikkaa taso
Muut pallokaavat
A pallon alue - eli sen pinnan mittauksella - on myös tunnettu kaava. Jos r on pallon säde, lasketaan sen pinta-ala A
\(A=4·π·r^2\)
Tässä tapauksessa on myös tärkeää merkitä muistiin säteen mittayksikkö, joka ilmaisee alueen mittayksikön. Jos esimerkiksi r on senttimetreinä, A: n on oltava cm²: nä.
Ratkaistiin harjoituksia pallon tilavuudesta
Kysymys 1
Mikä on pallon säde, jonka tilavuus on 108 kuutiosenttimetriä? (Käytä π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Harkitse sitä r on pallon säde. Kun tiedämme, että V = 108, voimme käyttää pallon tilavuuden kaavaa:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
kysymys 2
Muinainen pallomainen säiliö on halkaisijaltaan 20 metriä ja tilavuus V1. Halutaan rakentaa toinen säiliö, jonka tilavuus on V2, jossa on kaksinkertainen tilavuus vanhaan säiliöön verrattuna. Joten, V2 se on sama kuin
The) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Se on) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Resoluutio
E vaihtoehto.
Koska halkaisija on kaksi kertaa sädettä suurempi, vanhan säiliön säde r = 10 metriä. Siksi
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
lausunnon mukaan, \(V_2=2·V_1\), eli
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Kirjailija Maria Luiza Alves Rizzo
Matikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm