symmetrinen matriisi On päämaja jossa jokainen elementti \(a_{ij}\) on yhtä suuri kuin elementti \(a_{ji}\) kaikille i: n ja j: n arvoille. Näin ollen jokainen symmetrinen matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi. On myös syytä mainita, että jokainen symmetrinen matriisi on neliö ja että päädiagonaali toimii symmetria-akselina.
Lue myös:Matriisin yhteen- ja vähennyslasku – miten lasketaan?
Abstrakti symmetrisestä matriisista
Symmetrisessä matriisissa \(a_{ij}=a_{ji}\) kaikille i: lle ja j: lle.
Jokainen symmetrinen matriisi on neliö.
Jokainen symmetrinen matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi.
Symmetrisen matriisin elementit ovat symmetrisiä päädiagonaalin suhteen.
Symmetrisessä matriisissa ollessaan \(a_{ij}=a_{ji}\) kaikille i: lle ja j: lle; antisymmetrisessä matriisissa, \(a_{ij}=-a_{ji}\) kaikille i: lle ja j: lle.
Mikä on symmetrinen matriisi?
Symmetrinen matriisi on neliömatriisi missä \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) jokaiselle i: lle ja jokaiselle j: lle. Se tarkoittaa, että \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)
ja niin edelleen kaikille mahdollisille i: n ja j: n arvoille. Muista, että i: n mahdolliset arvot vastaavat matriisin rivejä ja j: n mahdolliset arvot vastaavat matriisin sarakkeita.Esimerkkejä symmetrisistä matriiseista
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Esimerkkejä epäsymmetrisistä matriiseista (harkitse \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Tärkeä: Sanoa, että matriisi ei ole symmetrinen, tarkoittaa sen osoittamista \(a_{ij}≠a_{ji}\) ainakin joillekin i: lle ja j: lle (jotka voimme nähdä vertaamalla edellisiä esimerkkejä). Tämä eroaa antisymmetrisen matriisin käsitteestä, jonka näemme myöhemmin.
Mitkä ovat symmetrisen matriisin ominaisuudet?
Jokainen symmetrinen matriisi on neliö
Huomaa, että symmetrisen matriisin määritelmä perustuu neliömatriiseihin. Siten jokaisessa symmetrisessä matriisissa on sama määrä rivejä kuin sarakkeiden määrä.
Jokainen symmetrinen matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi
Jos A on matriisi, se siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä (\(A^T\)) määritellään matriisiksi, jonka rivit ovat A: n sarakkeita ja jonka sarakkeet ovat A: n rivejä. Joten jos A on symmetrinen matriisi, meillä on \(A=A^T\).
Symmetrisessä matriisissa elementit "heijastuvat" suhteessa päädiagonaaliin
Kuten \(a_{ij}=a_{ji}\) symmetrisessä matriisissa päädiagonaalin yläpuolella olevat elementit ovat alla olevien elementtien "heijastuksia". diagonaalista (tai päinvastoin) diagonaaliin nähden niin, että päälävistäjä toimii diagonaalin akselina symmetria.
Mitä eroja on symmetrisen matriisin ja antisymmetrisen matriisin välillä?
Jos A on symmetrinen matriisi, niin \(a_{ij}=a_{ji}\) kaikille i: lle ja kaikille j: lle, kuten tutkimme. Antisymmetrisen matriisin tapauksessa tilanne on toinen. Jos B on antisymmetrinen matriisi, niin \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) jokaiselle i: lle ja jokaiselle j: lle.
Huomaa, että tämä johtaa \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), tuo on, diagonaaliset pääelementit ovat nollia. Tästä seuraa, että antisymmetrisen matriisin transponointi on yhtä suuri kuin sen vastakohta, eli jos B on antisymmetrinen matriisi, niin \(B^T=-B\).
Esimerkkejä antisymmetrisistä matriiseista
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Katso myös: Identiteettimatriisi — matriisi, jossa diagonaaliset pääelementit ovat yhtä suuret kuin 1 ja loput elementit ovat yhtä kuin 0
Ratkaistiin harjoituksia symmetrisellä matriisilla
Kysymys 1
(Unicentro)
jos matriisi \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) on symmetrinen, joten xy: n arvo on:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resoluutio:
Vaihtoehto A
Jos annettu matriisi on symmetrinen, niin symmetrisissä paikoissa olevat alkiot ovat yhtä suuret (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Siksi meidän on:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Ensimmäisen vaihtaminen yhtälö toisessa päätämme sen \(y=3\), pian:
\(x=2\) se on \(xy=6\)
kysymys 2
(UFSM) Tietäen, että matriisi \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) on yhtä suuri kuin sen transponointi, arvo \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resoluutio:
Vaihtoehto C
Koska annettu matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi, se on symmetrinen matriisi. Siten symmetrisissä paikoissa olevat elementit ovat yhtä suuret (\(a_{ij}=a_{ji}\)), eli:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Ensimmäisen yhtälön mukaan x = -6 tai x=6. Kolmannella yhtälöllä saamme oikean vastauksen: x = -6. Toisella yhtälöllä y = 11.
Pian:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Kirjailija Maria Luiza Alves Rizzo
Matikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
