O apoteemi monikulmion jana, jonka päätepisteet ovat monikulmion keskellä ja yhden sivun keskipisteessä. Tämä segmentti muodostaa 90° kulman monikulmion vastaavan sivun kanssa.
Apoteemin suuren laskemiseksi on otettava huomioon kyseisen polygonin ominaisuudet. Geometrisesta muodosta riippuen on mahdollista rakentaa kaava tämän mittauksen saamiseksi. Tärkeä havainto on, että säännöllisen monikulmion apoteemin mitta on yhtä suuri kuin monikulmion kehän säteen mitta.
Lue myös: Mikä on puolittaja?
Tämän artikkelin aiheet
- 1 - Yhteenveto apoteemista
- 2 - Esimerkkejä apoteemeista
-
3 - Mitkä ovat apoteemin kaavat?
- Tasasivuisen kolmion apoteemikaava
- Square Formulan apoteemi
- Säännöllinen kuusikulmainen apoteemi kaava
- Pyramid Apothem -kaava
- 4 - Miten apoteemi lasketaan?
- 5 - Ratkaistiin apoteemin harjoituksia
Yhteenveto apoteemista
Apoteemi on monikulmion segmentti, joka yhdistää keskipisteen (pystysuorien puolittajien kohtaamispiste) yhden sivun keskipisteeseen.
Apoteemin ja monikulmion vastaavan sivun välinen kulma on 90°.
Säännöllisen monikulmion apoteemin mitta on yhtä suuri kuin monikulmioon piirretyn ympyrän säteen mitta.
Tasasivuisen kolmion apoteemi OM l annetaan kaavalla
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Sivun neliön apoteemi OM l annetaan kaavalla
\(OM = \frac{l}2\)
Säännöllisen kuusikulmion apoteemi OM toisella puolella l annetaan kaavalla
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Pyramidin apoteema on jana, joka yhdistää kärjen yhden kannan reunan keskipisteeseen, ja sen mitta voidaan saada Pythagoraan lauseella.
Älä nyt lopeta... Julkisuuden jälkeen on muutakin ;)
Esimerkkejä apoteemista
Löytääksemme monikulmion apoteemin meidän on rakennettava jana, joka yhdistää monikulmion keskustan yhden sivun keskipisteeseen. Muista, että monikulmion keskipiste on puolittajien kohtaamispaikka.
Näissä esimerkeissä apoteemi tarkasteltiin tasopolygoneissa. On kuitenkin olemassa avaruusobjekti, jolla on toisenlainen apoteema: pyramidi.
Pyramidissa on kahdenlaisia apoteemeja: kannan apoteemi, joka on pyramidin pohjan muodostavan monikulmion apoteemi, ja pyramidin apoteemi, joka on segmentti, joka yhdistää kärjen kantareunan keskipisteeseen (eli se on pohjan sivupinnan korkeus). pyramidi).
Alla olevassa neliön kantaesimerkissä segmentti OM on kannan apoteemi ja segmentti VM on pyramidin apoteemi, jossa M on BC: n keskipiste.
Mitkä ovat apoteemin kaavat?
Tietäen monikulmion, erityisesti säännöllisten monikulmion ominaisuudet, voimme kehittää kaavoja apoteemin suuren laskemiseen. Katsotaanpa, mitä nämä kaavat ovat tärkeimmille säännöllisille polygoneille.
Tasasivuisen kolmion apoteemikaava
klo tasasivuisen kolmion tapaus, korkeus ja mediaani suhteessa tiettyyn sivuun ovat samat. Tämä tarkoittaa, että monikulmion keskipiste osuu yhteen barycenter kolmiosta. Siten piste O jakaa korkeuden AM seuraavasti:
\(AO = \frac{2}3 AM\) se on \(OM=\frac{1}3 AM\)
Muista, että mitta tasasivuisen kolmion korkeus l on antanut:
\(Korkeus\ kolmio\ tasasivuinen=\frac{l\sqrt3}2\)
Siksi, koska AM on tasasivuisen kolmion ABC korkeus ja jana OM on kolmion apoteemi, voimme kehittää seuraavan lausekkeen OM: n mittaa varten ottaen huomioon, että kolmion sivu on l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Square Formulan apoteemi
Neliön tapauksessa apoteemin mitta vastaa puolta sivun pituudesta. Siten, jos O on neliön keskipiste, M on yhden sivun keskipiste ja l on neliön sivun pituus, joten apoteemin OM kaava on
\(OM=\frac{l}2\)
Säännöllinen kuusikulmainen apoteemi kaava
Säännöllisessä kuusikulmiossa apoteemi vastaa tasasivuisen kolmion korkeutta, jonka kärjet ovat toisen sivun kahdessa päässä ja monikulmion keskellä. Alla olevassa esimerkissä säännöllisen kuusikulmion apoteemi OM on tasasivuisen kolmion OCD korkeus, missä M on CD: n keskipiste.
Kuten aiemmin mainittiin, tasasivuisen kolmion korkeus tunnetaan. Jos siis säännöllisen kuusikulmion sivu mitataan l, silloin apoteemin OM kaava on
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramid Apothem -kaava
Pyramidin apoteemin mitta voidaan saada käyttämällä Pythagoraan lause auttaa. Alla olevassa esimerkissä neliönmuotoisessa pyramidissa kolmio VOM on suorakulmio, jonka jalat VO ja OM sekä hypotenuusa VM. Huomaa, että VO on pyramidin korkeus, OM on kannan apoteemi ja VM on pyramidin apoteemi.
Siten määrittääksemme pyramidin apoteemin mitta, meidän on sovellettava Pythagoraan lausetta:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Varovainen! VM on tasakylkisen kolmion korkeus, ei tasasivuisen kolmion. Joten tässä tapauksessa emme voi käyttää tasasivuisen kolmion korkeuden kaavaa.
Miten apoteemi lasketaan?
Monikulmion tai pyramidin apoteemin laskemiseksi voimme käyttää konstruoituja kaavoja tai yhdistää apoteemin piirretyn ympyrän säteeseen.
Esimerkki 1: Oletetaan, että tasasivuiseen kolmioon on kirjoitettu ympyrä, jonka säde on 3 cm. Mikä on tämän kolmion apoteemin mitta?
Koska monikulmion apoteemin mitta on sama kuin piirretyn ympyrän säde, kolmion apoteemi on 3 cm.
Esimerkki 2: Mikä on säännöllisen kuusikulmion apoteemin mitta, jonka sivu on 4 cm?
Käyttämällä kaavaa säännöllisen kuusikulmion apoteemille \(l=4\) cm, meidän täytyy
\(mitta\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Lue myös: Kaikki kolmion merkittävistä pisteistä
Ratkaistiin apoteemin harjoituksia
Kysymys 1
Jos 4 cm korkean pyramidin pohjan apoteemi on 3 cm, niin pyramidin apoteemin mitta on
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Resoluutio:
Pyramidissa voimme rakentaa suorakulmaisen kolmion, jossa yksi jalka on kannan apoteemi, toinen jalka on pyramidin korkeus ja hypotenuusa on pyramidin apoteemi. Siten, kun Pythagoraan lausetta sovelletaan suuren x hypotenuusaan,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Vaihtoehto A.
kysymys 2
Jos neliön apoteemi on y cm, niin neliön sivu on
The) \(\frac{1}3v \) cm
B) \(\frac{1}2v \) cm
c) y cm
d) 2v cm
e) 3v cm
Resoluutio
Neliön apoteemi on puolet neliön sivun pituudesta. Siksi, jos apoteemi on y cm, neliön koko on 2y cm.
Vaihtoehto D.
Kirjailija Maria Luiza Alves Rizzo
Matikan opettaja
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apoteemi"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Käytetty 16. toukokuuta 2023.
Ymmärrä, mikä on kolmion barycenter ja kuinka se lasketaan suorakulmaisessa tasossa sen ominaisuuksien tarkistamisen lisäksi.
Napsauta ja opi rakentamaan rajattuja polygoneja ja opi lisää tästä suhteesta ympärysmitan kanssa.
Ymmärrä mitä kuusikulmio on ja tiedä sen luokitukset, ominaisuudet ja ominaisuudet. Opi myös kaavat laskemaan sen pinta-ala ja ympärysmitta.
Napsauta tätä, selvitä, mikä on kohtisuora puolittaja ja opi rakentamaan se. Opi myös erot kohtisuoran puolittajan, mediaanin, puolittajan ja kolmion korkeuden välillä.
Ymmärrä mikä pyramidi on ja näe sen pääelementit. Tutustu erityyppisiin pyramideihin ja niiden tilavuuden ja pinta-alan laskemiseen.
Opi mikä on säännöllinen monikulmio ja erottaa säännölliset monikulmiot epäsäännöllisistä monikulmioista. Laske myös säännöllisen monikulmion pinta-ala ja ympärysmitta.
Opi laskemaan janan keskipiste analyyttisen geometrian avulla!
Katso tästä kolmion merkittävät pisteet ja opi sen tärkeimmät ominaisuudet. Katso myös, kuinka nämä kohdat voivat helpottaa joidenkin ongelmien ratkaisemista.
Napsauta saadaksesi selville, mitä neliöt ovat, niiden muille geometrisille kuvioille yhteiset ominaisuudet ja niiden erityisominaisuudet.
Pythagoraan lause on yksi tärkeimmistä työkaluista kolmioiden tutkimisessa. Napsauta tätä, tutustu sen kaavaan ja ota selvää, kuinka sitä käytetään!
