Transponoitu matriisi: mikä se on, ominaisuudet, esimerkit

protection click fraud

THE transponoitu matriisi matriisin M arvo on matriisi M^t. se koskee päämaja jonka saamme kun kirjoitamme matriisin M muuttamalla rivien ja sarakkeiden sijaintia, muuntamalla M: n ensimmäinen rivi M: n ensimmäiseksi sarakkeeksi^t, M: n toinen rivi M: n toisessa sarakkeessa^t, ja niin edelleen.

Jos matriisilla M on m linjat ja ei sarakkeita, sen transponoitu matriisi eli M^t, tulee olemaan ei linjat ja m sarakkeita. Transponoidulle matriisille on erityisiä ominaisuuksia.

Lue myös: Mikä on kolmiomainen matriisi?

Kuinka transponoitu matriisi saadaan?

Annetaan matriisi A_mxn, tunnemme matriisina, joka on siirretty A: sta matriisiin A^t_{n x m}. Jos haluat löytää transponoidun matriisin, muuta vain sijaintia matriisin A riveistä ja sarakkeista. Mikä tahansa matriisin A ensimmäinen rivi on transponoidun matriisin A ensimmäinen sarake^t, matriisin A toinen rivi on matriisin A toinen sarake^t, ja niin edelleen.

Olkoon algebrallisesti M = (m_ij)_mxn, M: n transponoitu matriisi on M^t = (m_ji) _{n x m}.

Esimerkki:

Etsi matriisista transponoitu matriisi:

instagram story viewer

Matriisi M on 3x5 matriisi, joten sen siirto on 5x3. Transponoidun matriisin löytämiseksi teemme matriisin M ensimmäisestä rivistä matriisin M ensimmäisen sarakkeen^t.

Matriisin M toinen rivi on transponoidun matriisin toinen sarake:

Lopuksi matriisin M kolmannesta rivistä tulee matriisin M kolmas sarake.^t:

symmetrinen matriisi

Transponoidun matriisin käsitteen perusteella on mahdollista määritellä, mikä symmetrinen matriisi on. Matriisi tunnetaan symmetrisenä kun se on yhtä suuri kuin transponoitu matriisieli kun otetaan huomioon matriisi M, M = M^t.

Jotta se tapahtuisi, matriisin on oltava neliö, mikä tarkoittaa, että matriisin ollessa symmetrinen, rivien määrän on oltava yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä.

Esimerkki:

Kun analysoimme päädiagonaalin yläpuolella olevat termit ja päädiagonaalin alapuolella olevat termit matriisin S, on mahdollista nähdä, että on termejä, jotka ne ovat samat, joka tekee siitä tunnetuksi symmetrisen tarkalleen matriisin symmetrian takia päädiagonaaliin nähden.

Jos löydämme matriisin S transposion, on mahdollista nähdä, että S^t on yhtä suuri kuin S.

Kuten S = S^t, tämä matriisi on symmetrinen.

Katso myös: Kuinka ratkaista lineaarisia järjestelmiä?

Transponoidut matriisiominaisuudet

1. ominaisuus: transponoidun matriisin transponointi on yhtä suuri kuin itse matriisi:

(M^t)^t = M

2. ominaisuus: matriisien välisen summan siirtäminen on yhtä suuri kuin kunkin matriisin transponoinnin summa:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3. ominaisuus: - kertolasku kahden matriisin välillä on yhtä suuri kuin kunkin matriisin transponointikerta:

(M · N)^t = M^t · N^t

4. ominaisuus: O määräävä tekijä matriisin arvo on yhtä suuri kuin transponoidun matriisin determinantti:

det (M) = det (M^t)

5. ominaisuus: matriisin transponointikerta vakio on yhtä suuri kuin matriisin transponointikerta vakio:

(kA)^t = kA^t

Käänteinen matriisi

Käänteismatriisikonsepti eroaa melkoisesti transponoidusta matriisikonseptista, ja on tärkeää korostaa niiden välistä eroa. Matriisin M käänteinen matriisi on matriisi M^-1, missä M- ja M-matriisien välinen tulo^-1 on sama kuin identiteettimatriisi.

Esimerkki:

Jos haluat lisätietoja tämän tyyppisestä matriisista, lue teksti: Käänteinen matriisi.

vastakkainen matriisi

Koska kyseessä on toinen matriisin tapaus, matriisin M vastakohtainen matriisi on matriisi -M. Tiedämme M = (m_ij) matriisi -M = (-m_ij). Vastakkainen matriisi koostuu matriisin M vastakkaisista termeistä.