O keskihajonta on dispersion mitta, samoin kuin varianssi ja variaatiokerroin. Keskihajontaa määritettäessä voimme muodostaa alueen aritmeettisen keskiarvon ympärille (jako luettelon lukujen summan ja lisättyjen numeroiden välillä), johon suurin osa tiedoista on keskittynyt. Mitä suurempi keskihajonnan arvo on, sitä suurempi on tietojen vaihtelu, eli sitä suurempi on poikkeama aritmeettisesta keskiarvosta.
Lue myös: Tila, keskiarvo ja mediaani — keskeisten suuntausten päämitat
Keskihajonnan yhteenveto
- Keskihajonta on vaihtelun mitta.
- Keskihajonnan merkintä on pieni kreikkalainen kirjain sigma (σ) tai kirjain s.
- Keskihajonnan avulla varmistetaan tietojen vaihtelu keskiarvon ympärillä.
- Keskihajonta määrittää alueen \(\vasen[\mu-\sigma,\mu+\sigma\oikea]\), jossa suurin osa tiedoista sijaitsee.
- Keskihajonnan laskemiseksi meidän on löydettävä varianssin neliöjuuri:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Mikä on keskihajonta?
Keskihajonta on a Tilastoissa hyväksytty hajautustoimenpide. Sen käyttö liittyy varianssin tulkinta, joka on myös dispersion mitta.
Käytännössä keskihajonta määrittää aritmeettiseen keskiarvoon keskittyvän intervallin, johon suurin osa tiedoista on keskittynyt. Siten mitä suurempi keskihajonnan arvo on, sitä suurempi on tietojen epäsäännöllisyys (lisää tietoa heterogeeninen), ja mitä pienempi keskihajonnan arvo on, sitä pienempi on tietojen epäsäännöllisyys (lisätietoja homogeeninen).
Kuinka laskea keskihajonta?
Tietojoukon keskihajonnan laskemiseksi meidän on löydettävä varianssin neliöjuuri. Joten kaava keskihajonnan laskemiseksi on
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → mukana olevat tiedot.
- μ → datan aritmeettinen keskiarvo.
- N → tiedon määrä.
- \( \sum_{i=1}^{N}\vasen (x_i-\mu\oikea)^2\ =\ \vasen (x_1-\mu\oikea)^2+\vasen (x_2-\mu\oikea) )^2+\vasen (x_3-\mu\oikea)^2+...+\vasen (x_N-\mu\oikea)^2 \)
Viimeinen kohde, joka viittaa radikandin osoittajaan, osoittaa kunkin datapisteen ja aritmeettisen keskiarvon välisen eron neliösumman. Huomatkaa että keskihajonnan mittayksikkö on sama mittayksikkö kuin data x1,x2,x3,…,xEi.
Vaikka tämän kaavan kirjoittaminen on hieman monimutkaista, sen soveltaminen on yksinkertaisempaa ja suorempaa. Alla on esimerkki siitä, kuinka tätä lauseketta käytetään keskihajonnan laskemiseen.
- Esimerkki:
Kaupungissa mitattiin kahden viikon ajan seuraavat lämpötilat:
Viikko/päivä |
sunnuntai |
Toinen |
Kolmas |
Neljäs |
Viides |
perjantai |
lauantai |
viikko 1 |
29 °C |
30°C |
31 °C |
31,5 °C |
28°C |
28,5 °C |
29 °C |
viikko 2 |
28,5 °C |
27 °C |
28°C |
29 °C |
30°C |
28°C |
29 °C |
Millä kahdesta viikosta lämpötila pysyi säännöllisempänä tässä kaupungissa?
Resoluutio:
Lämpötilan säännöllisyyden analysoimiseksi meidän on verrattava viikoilla 1 ja 2 tallennettujen lämpötilojen keskihajontoja.
- Katsotaanpa ensin viikon 1 keskihajontaa:
Huomaa, että keskiarvo μ1 se on Ei1 he ovat
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\noin 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 päivää viikossa)
Lisäksi meidän on laskettava kunkin lämpötilan ja keskilämpötilan välisen eron neliö.
\(\vasen (29-29,57\oikea)^2=0,3249\)
\(\vasen (30-29,57\oikea)^2=0,1849\)
\(\vasen (31-29,57\oikea)^2=2,0449\)
\(\vasen (31,5-29,57\oikea)^2=3,7249\)
\(\vasen (28-29,57\oikea)^2=2,4649\)
\(\vasen (28,5-29,57\oikea)^2=1,1449\)
\(\vasen (29-29,57\oikea)^2=0,3249\)
Kun tulokset lasketaan yhteen, saadaan, että keskihajonnan kaavan radikaanin osoittaja on
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Viikon 1 keskihajonta on siis
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \noin 1,208\ °C\)
Huomautus: Tämä tulos tarkoittaa, että suurin osa viikon 1 lämpötiloista on välissä [28,36 °C, 30,77 °C], eli välissä \(\vasen[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\oikea]\).
- Katsotaan nyt viikon 2 keskihajontaa:
Samaa päättelyä noudattaen meillä on
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\vasen (28,5-28,5\oikea)^2=0\)
\(\vasen (27-28,5\oikea)^2=2,25\)
\(\vasen (28-28,5\oikea)^2=0,25\)
\(\vasen (29-28,5\oikea)^2=0,25\)
\(\vasen (30-28,5\oikea)^2=2,25\)
\(\vasen (28-28,5\oikea)^2=0,25\)
\(\vasen (29-28,5\oikea)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Viikon 2 keskihajonta on siis
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \noin 0,89\ °C\)
Tämä tulos tarkoittaa, että useimmat viikon 2 lämpötilat ovat alueella \(\vasen[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\oikea]\), eli alue \(\vasen[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\oikea]\).
tajuta että \(\sigma_2, eli viikon 2 keskihajonta on pienempi kuin viikon 1 keskihajonta. Siksi viikko 2 esitti säännöllisempiä lämpötiloja kuin viikko 1.
Mitkä ovat keskihajonnan tyypit?
Keskihajonnan tyypit liittyvät tiedon organisoinnin tyyppiin. Edellisessä esimerkissä työskentelimme ryhmittämättömien tietojen keskihajonnan kanssa. Jos haluat laskea muutoin järjestetyn tiedon (esimerkiksi ryhmitellyn tiedon) joukon keskihajonnan, sinun on säädettävä kaavaa.
Mitä eroa standardipoikkeaman ja varianssin välillä on?
keskihajonta on neliöjuuri varianssista:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Kun varianssia käytetään tietojoukon vaihtelevuuden määrittämiseen, tuloksen tietoyksikkö neliötetään, mikä vaikeuttaa sen analysointia. Siten standardipoikkeama, jolla on sama yksikkö kuin tiedolla, on mahdollinen työkalu varianssituloksen tulkitsemiseen.
Tietää enemmän:Absoluuttinen taajuus — kuinka monta kertaa sama vastaus ilmestyi tiedonkeruun aikana
Ratkaistiin keskihajonnan harjoituksia
Kysymys 1
(FGV) 10 oppilaan luokassa oppilaiden arvosanat arvioinnissa olivat:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Tämän luettelon keskihajonta on noin
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Resoluutio:
Vaihtoehto C.
Lausunnon mukaan N = 10. Tämän luettelon keskiarvo on
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Lisäksi,
\(\vasen (6-8\oikea)^2=4\)
\(\vasen (7-8\oikea)^2=1\)
\(\vasen (8-8\oikea)^2=0\)
\(\vasen (9-8\oikea)^2=1\)
\(\vasen (10-8\oikea)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Joten tämän luettelon keskihajonna on
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\noin1.1\)
kysymys 2
Harkitse alla olevia väitteitä ja arvioi jokainen niistä T (tosi) tai F (epätosi).
i. Varianssin neliöjuuri on standardipoikkeama.
II. Keskihajonnalla ei ole yhteyttä aritmeettiseen keskiarvoon.
III. Varianssi ja keskihajonta ovat esimerkkejä hajontamittauksista.
Oikea järjestys ylhäältä alas on
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Resoluutio:
E vaihtoehto.
i. Varianssin neliöjuuri on standardipoikkeama. (totta)
II. Keskihajonnalla ei ole yhteyttä aritmeettiseen keskiarvoon. (väärä)
Keskihajonta osoittaa aritmeettisen keskiarvon ympärillä olevan välin, jolle suurin osa tiedoista kuuluu.
III. Varianssi ja keskihajonta ovat esimerkkejä hajontamittauksista. (totta)
Kirjailija Maria Luiza Alves Rizzo
Matikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm