Kuusikulmio se on monikulmio jossa on 6 sivua. Se on säännöllistä, kun kaikki sivut ja sisäkulmat ovat yhteneväisiä keskenään. Se on epäsäännöllinen, kun sillä ei ole näitä ominaisuuksia. Ensimmäinen tapaus on laajimmin tutkittu, koska kun kuusikulmio on säännöllinen, sillä on erityisiä ominaisuuksia ja kaavoja, joiden avulla voimme laskea sen pinta-alan, ympäryksen ja apoteemin.
Lue myös: Mikä on losangle?
Abstrakti kuusikulmiosta
Kuusikulmio on 6-sivuinen monikulmio.
Se on säännöllistä, kun kaikki puolet ovat yhteneväisiä.
Se on epäsäännöllistä, kun kaikki puolet eivät ole yhteneväisiä.
Tavallisessa kuusikulmiossa jokainen sisäkulma on 120°.
Summa kulmat säännöllisen kuusikulmion ulkoreunat ovat aina 360°.
Säännöllisen kuusikulmion pinta-alan laskemiseksi käytämme kaavaa:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O ympärysmitta kuusikulmio on sen sivujen summa. Kun se on säännöllistä, meillä on:
P = 6L
Säännöllisen kuusikulmion apoteemi lasketaan kaavalla:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Älä lopeta nyt... Mainoksen jälkeen on muutakin ;)
Mikä on kuusikulmio?
Kuusikulmio on mikä tahansa monikulmio sillä on 6 sivua, eli 6 kärkeä ja 6 kulmaa. Koska se on monikulmio, se on suljettu litteä hahmo, jonka sivut eivät leikkaa toisiaan. Kuusikulmio on toistuva muoto luonnossa, kuten hunajakennoissa, rakenteissa orgaaninen kemia, tiettyjen kilpikonnien kuorissa ja lumihiutaleissa.
Videotunti polygoneista
kuusikulmioelementit
Kuusikulmio koostuu 6 sivusta, 6 pisteestä ja 6 sisäkulmasta.
Vertices: pisteet A, B, C, D, E, F.
sivut: segmentit \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Sisäiset kulmat: kulmat a, b, c, d, f.
Kuusikulmioiden luokitus
Kuusikulmiot, kuten muutkin monikulmiot, voidaan luokitella kahdella tavalla.
säännöllinen kuusikulmio
Kuusikulmio on säännöllinen, kun se on kaikki sen yhtenevät puolet — näin ollen myös niiden kulmat ovat yhtenevät. Säännöllinen kuusikulmio on kaikista tärkein, ja se on laajimmin tutkittu. On mahdollista laskea useita sen aspekteja, kuten pinta-ala, erityisillä kaavoilla.
Havainto: Tavallinen kuusikulmio voidaan jakaa kuuteen tasasivuiset kolmiot, eli kolmioita, joiden kaikki sivut ovat yhtä suuret.
→ epäsäännöllinen kuusikulmio
Epäsäännöllinen kuusikulmio on sellainen, jolla on eri toimenpiteillä. Se voi olla kupera tai ei-kupera.
kupera epäsäännöllinen kuusikulmio
kuusikulmio on kupera kun sinulla on kaikki sisäkulmat alle 180°.
→ Epäsäännöllinen ei-kupera kuusikulmio
Kuusikulmio on ei-kupera, kun se on sisäkulmat yli 180°.
kuusikulmion ominaisuudet
→ Diagonaalien lukumäärä kuusikulmiossa
Ensimmäinen tärkeä ominaisuus on se kuperassa kuusikulmiossa on aina 9 diagonaalia. Löydämme nämä 9 diagonaalia geometrisesti:
Voimme löytää diagonaalit myös algebrallisesti seuraavan kaavan avulla:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Jos korvaamme yhtälön 6, saamme:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Joten kuperalla kuusikulmiolla on aina 9 diagonaalia.
Tietää enemmän: Suorakaiteen muotoinen lohkon diagonaali — segmentti, joka yhdistää kaksi sen kärkeä, jotka eivät ole samalla pinnalla
→ Kuusikulman sisäkulmat
Kuusikulmassa, sen sisäkulmien summa on 720°. Suorita tämä summa korvaamalla 6 kaavassa:
\(S_i=180\vasen (n-2\oikea)\)
\(S_i=180\vasen (6-2\oikea)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Tavallisessa kuusikulmiossa sisäkulmat ovat aina 120° kukin, koska
720°: 6 = 120°
→ Säännöllisen kuusikulmion ulkokulmat
Mitä tulee ulkoisiin kulmiin, tiedämme, että Niiden summa on aina 360°. Koska ulkokulmia on 6, jokainen niistä on 60°, as
360°: 6 = 60°
→ Säännöllinen kuusikulmio
Säännöllisen monikulmion apoteemiksi katsotaanJana yhdistää monikulmion keskustan keskipiste sinun puolellasi. Kuten tiedämme, säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, joten apoteemi vastaa yhden näistä tasasivuisista kolmioista korkeutta. Tämän segmentin arvo voidaan laskea kaavalla:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ kuusikulmion kehä
Laskeaksesi kuusikulmion kehän, suorita yksinkertaisesti sen 6 sivun summa. Kun kuusikulmio on säännöllinen, sen sivut ovat yhteneväisiä, joten on mahdollista laskea kuusikulmion ympärysmitta kaavalla:
P = 6L
→ säännöllinen kuusikulmioalue
Koska tiedämme, että säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, joiden sivut ovat L, on mahdollista johtaa kaava sen pinta-alan laskemiseksi käyttämällä yhden alueen kolmio tasasivuinen kerrottuna 6:lla.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Huomaa, että se on mahdollista yksinkertaistus jakamalla kahdella, luo kaavan kuusikulmion alueen laskemiseksi:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Ympyrään kaiverrettu kuusikulmio
Sanomme, että monikulmio on merkitty a: een ympärysmitta kun hän on ympyrän sisällä, ja sen kärjet ovat tämän pisteitä. Voimme edustaa ympyrään piirrettyä säännöllistä kuusikulmiota. Kun teemme tämän esityksen, on mahdollista varmistaa, että ympyrän säteen pituus on yhtä suuri kuin kuusikulmion sivun pituus.
Tiedä myös: Ympyrä ja ympärysmitta – mitä eroa niillä on?
Ympyrään rajattu kuusikulmio
Sanomme, että monikulmio on ympäröity ympyrällä, kun ympärysmitta on tämän monikulmion sisällä. Voimme edustaa rajattua säännöllistä kuusikulmiota. Tässä tapauksessa ympyrä on tangentti kuusikulmion kummankin sivun keskipisteeseen, mikä tekee ympyrän säteen yhtä suureksi kuin kuusikulmion apoteemi.
kuusikulmainen prisma
THE Tasogeometria on perusta tutkimuksille Tilageometria. O kuusikulmio voi olla geometristen kiinteiden aineiden pohjassa, kuten prismoissa.
Löytääksesi a: n tilavuuden prisma, laskemme pohjan pinta-alan ja korkeuden tulon. Koska sen pohja on kuusikulmio, sen äänenvoimakkuutta voidaan laskea seuraavasti:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lue myös: Geometristen kiinteiden aineiden tilavuus - kuinka laskea?
Kuusikulmainen pohjapyramidi
Kuusikulmaisen prisman lisäksi siellä on myös pyramidit kuusikulmainen pohja.
löytääksesi pyramidin tilavuus kuusikulmaisesta pohjasta lasketaan pohjan pinta-alan, korkeuden tulo ja jaetaan 3:lla.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Huomaa, että kerromme ja jaamme kolmella, mikä mahdollistaa a yksinkertaistaminen. Joten kuusikulmaisen pyramidin tilavuus lasketaan kaavalla:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Ratkaistiin harjoituksia kuusikulmiolla
Kysymys 1
Maa on muodoltaan säännöllinen kuusikulmio. Haluat ympäröidä tämän alueen piikkilangalla, jotta lanka kiertää alueen 3 kertaa. Kun tiedetään, että kaikkiaan 810 metriä lankaa käytettiin koko maan aitaamiseen, tämän kuusikulmion pinta-ala on noin:
(Käyttää \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Resoluutio:
Vaihtoehto B
Säännöllisen kuusikulmion ympärysmitta on
\(P=6L\)
Kun ajettiin 3 kierrosta, yhden kierroksen suorittamiseen kului yhteensä 270 metriä, kuten tiedämme:
810: 3 = 270
Meillä on siis:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metriä\)
Kun tiedämme sivun pituuden, laskemme alueen:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Pyöristämällä saamme:
\(A\noin 5164m^2\)
kysymys 2
(PUC - RS) Mekaaniseen vaihteeseen haluat tehdä säännöllisen kuusikulmaisen osan. Yhdensuuntaisten sivujen välinen etäisyys on 1 cm, kuten alla olevasta kuvasta näkyy. Tämän kuusikulmion sivu on ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Resoluutio:
Vaihtoehto B
Mitä tulee säännölliseen kuusikulmioon, tiedämme, että sen apoteemi on mitta keskeltä yhden sivun keskipisteeseen. Siten apoteemi on puolet kuvassa ilmoitetusta etäisyydestä. Joten meidän on:
\(2a = 1 cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apoteemi on silloin yhtä suuri kuin \(\frac{1}{2}\). Kuusikulmion ja apoteemin sivujen välillä on suhde, koska säännöllisessä kuusikulmiossa meillä on:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Koska tiedämme apoteemin arvon, voimme korvata sen \(a=\frac{1}{2}\) yhtälössä:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Murtoluvun järkeistäminen:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
