Harjoituksia PA ja PG

Opiskele aritmeettista ja geometrista progressiota ratkaistujen ja kommentoituilla harjoituksilla askel askeleelta.

Harjoitus 1

AP: ssa a2 = 5 ja a7 = 15. Etsi a4 ja lisää tämän AP: n viisi ensimmäistä termiä.

katso vastaus

Oikea vastaus: a4 = 9 ja S = 35.

Resoluutio

1. vaihe: selvitä syy ja a4.
Poistuaksemme pisteestä a2 ja saapuaksemme kohtaan a7 lisäämme 5r, koska se on "etäisyys" numeroiden 7 ja 2 välillä.

a 7 alaindeksillä on yhtä kuin a 2 alaindeksillä plus 5 r 15 välilyönti vastaa välilyöntiä 5 välilyöntiä plus välilyönti 5 r 15 välilyönti miinus välilyönti 5 välilyönti on 5 r 10 välilyönti on välilyönti 5 r 10 yli 5 on r 2 yhtä suuri r

Termi a4 on termi a2 plus 2r, koska päästäksemme a2:sta a4:ään "edetään" 2r. Pian,

a 4 alaindeksillä on yhtä kuin a 2 alaindeksillä plus 2 r a 4 alaindeksillä vastaa 5 välilyöntiä plus välilyönti 2.2 a 4 alaindeksillä vastaa 5 välilyöntiä plus välilyönti 4 välilyönti vastaa välilyöntiä 9

Siksi AP: n neljäs termi on 9.

2. vaihe: määritä tämän AP: n viiden ensimmäisen ehdon summa.

AP: n ehtojen summa saadaan seuraavasti:

S on yhtä kuin osoittaja vasen sulkumerkki a, jossa on 1 alaindeksi sekä a ja n alaindeksi oikea sulkumerkki. n yli nimittäjä 2 murto-osan loppu

a1 = a2 - r (koska palaamme yhden aseman taaksepäin PA: ssa, alkaen a2:sta)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (koska menemme takaisin kaksi asemaa PA: ssa, alkaen a7:sta).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S on osoittaja vasen sulkumerkki 3 välilyönti plus välilyönti 11 oikea sulkumerkki.5 nimittäjän 2 yläpuolella murtoluvun loppu vastaa osoittajan 14 välilyöntiä. välilyönti 5 nimittäjän 2 yläpuolella murtoluvun loppu on 70 yli 2 on 35

Harjoitus 2

(Aeronautics 2021) Professori kirjoitti 8-terminisen kasvavan aritmeettisen progression, joka alkoi numerosta 3 ja koostuu vain luonnollisista luvuista. Sitten hän huomasi, että tämän aritmeettisen progression toinen, neljäs ja kahdeksas termi muodostivat tässä järjestyksessä geometrisen progression. Professori havaitsi myös, että tämän geometrisen progression termien summa oli yhtä suuri

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

katso vastaus

Vastaus: a) 42

AP: n mukaan termit, jotka muodostavat PG: n, ovat a2, a4 ja a8:

a kahdella alaindeksillä on yhtä kuin a ja 1 alaindeksi plus vasen sulkumerkki n miinus 1 oikea sulkumerkki r a ja 2 alaindeksi on 3 plus vasen sulkumerkki 2 miinus 1 oikea sulkumerkki r a ja 2 alaindeksi vastaa 3 plus r tilaa

a, jossa on 4 alaindeksiä, on yhtä kuin a ja 1 alaindeksi plus vasen sulkumerkki 4 miinus 1 oikea sulkumerkki r a 4 alaindeksillä vastaa 3 välilyöntiä plus välilyönti 3 r

a kahdeksalla alaindeksillä on 3 plus vasen sulkumerkki 8 miinus 1 oikea sulkumerkki r a 8 alaindeksillä on 3 plus 7 r

Kolmen ehdon summa on:

S on yhtä kuin a 2 alaindeksillä plus a 4 alaindeksillä plus a 8 alaindeksillä S on vasen sulkumerkki 3 plus r oikea sulkuväli plus välilyönti vasen sulku 3 plus 3 r sulkumerkki oikea välilyönti plus välilyönti vasen sulkumerkki 3 plus 7 r oikea sulkumerkki S on yhtä kuin 9 välilyönti plus väli 11 r välilyönti välilyönti vasen sulkumerkki ja q u a tion space I sulkumerkki oikein

R: n määrittämiseksi käytämme geometristä keskiarvoa:

a, jossa on 4 alaindeksiä, vastaa neliöjuurta a: sta, jossa on 2 alaindeksiä. a, jossa juuren 3 pää on 8 plus 3 r, on yhtä kuin vasemman sulkumerkin 3 plus r oikean sulkumerkin neliöjuuri. vasen sulkumerkki 3 plus 7 r oikea sulkupää

Neliöity molemmin puolin

vasen sulkumerkki 3 plus 3 r oikea sulkumerkki neliö on yhtä kuin vasen sulkumerkki 3 plus r oikea sulkumerkki. vasen sulkumerkki 3 plus 7 r oikea sulkumerkki

Ensimmäisen termin neliöinti ja toisen termin jakaminen:

Korvaamalla r: n yhtälöön I, saamme:

S-avaruus on yhtä suuri kuin avaruus 9 välilyönti plus välilyönti 11 r S-avaruus on tilaa 9 välilyönti plus välilyönti 11,3 S-avaruus on tilaa 9 välilyönti plus välilyönti 33 S-avaruus on tilaa 42

Siksi kolmen ensimmäisen termin summa on yhtä suuri kuin 42.

Harjoitus 3

(PM-SP 2019) Vuonna 2015 suuri öljy-yhtiö aloitti prosessin, jossa käytetään uudelleen jäähdyttämiseen käytettyä vettä. tuotti ja teki ennusteen siitä, että uudelleenkäytettävän veden määrä kasvaa asteittain aritmeettisessa progressiossa vuoteen 2050 asti, vuosi vuodelta vuosi.

Taulukko näyttää uudelleen käytetyn veden määrät kolmen ensimmäisen vuoden aikana:

Taulukko, joka liittyy kysymyksen ratkaisuun.

Olkoon An aritmeettisen progression yleinen termi, joka ilmaisee uudelleen käytetyn veden määrän miljoonina m³, kun n = 1, edustaa uudelleenkäytetyn veden määrää vuonna 2016, n = 2, joka edustaa uudelleen käytetyn veden määrää vuonna 2017 ja niin edelleen peräkkäin.

Näissä olosuhteissa on pakko

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

katso vastaus

Oikea vastaus: c) An = 0,5n + 23.

tavoite
Määritä An n: n funktiona.

Resoluutio
Aritmeettisen progression suhde on 0,5, koska 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

AP: n yleinen termi saadaan seuraavasti:

A jossa n alaindeksi vastaa välilyöntiä a ja 1 alaindeksi välilyönti plus välilyönti vasen sulkumerkki n miinus 1 oikea sulkumerkki r

Arvojen korvaaminen:

A jossa n alaindeksi on 23 pilkkua 5 välilyöntiä plus välilyönti 0 pilkkua 5 n välilyöntiä miinus välilyöntiä 0 pilkkua 5 A n alaindeksillä vastaa 0 pilkkua 5 n plus 23 välilyöntiä

Harjoitus 4

(CEDERJ 2021) Jakso (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) on aritmeettinen eteneminen suhteessa 6. Tämän etenemisen neljäs termi on

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

katso vastaus

Oikea vastaus: a) 31

Resoluutio
r väli on yhtä suuri kuin väli a 2 alaindeksillä miinus a ja 1 alaindeksi 6 välilyönti on välilyönti 3 x plus 4 välilyönti miinus sulkumerkit vasen 2x plus 3 sulkumerkki oikea 6 on 3x plus 4 miinus 2x miinus 3 6 on x plus 1x on 6 miinus 1x on yhtä suuri 5

Neljäs termi on a3 + r, näin:

a 4 alaindeksillä on yhtä kuin a 3 alaindeksillä plus r a 4 alaindeksillä vastaa 4 x välilyönti plus välilyönti 5 välilyönti plus välilyönti r

Korvaa löydetyt arvot:

a 4 alaindeksillä vastaa 4,5 välilyöntiä plus välilyönti 5 välilyöntiä plus välilyönti 6 a 4 alaindeksillä vastaa 20 plus välilyönti 5 välilyönti plus välilyönti 6 a 4 alaindeksillä on 31

Harjoitus 5

(Enem 2021) Brasiliassa aika, joka vaaditaan opiskelijalta koulutuksen suorittamiseen ylemmän kurssin valmistumiseen asti, Kun otetaan huomioon 9 vuotta peruskoulua, 3 vuotta lukioa ja 4 vuotta valmistumista (keskimääräinen aika), se on 16 vuotta vanha. Brasilialaisten todellisuus osoittaa kuitenkin, että yli 14-vuotiaiden keskimääräinen opiskeluaika on edelleen hyvin pieni, kuten taulukosta näkyy.
Taulukko, joka liittyy kysymyksen ratkaisuun.

Ajattele, että näiden ihmisten opiskeluajan lisäys kullakin ajanjaksolla pysyy vakiona vuoteen asti 2050, ja sen on tarkoitus saavuttaa 70 % korkeamman kurssin suorittamiseen tarvittavasta ajasta aiemmin.
Se vuosi, jolloin yli 14-vuotiaiden keskimääräinen opiskeluaika saavuttaa halutun prosenttiosuuden

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

katso vastaus

Oikea vastaus: d) 2035.

1. osa: määritä 70 % 16:sta.

70 prosentin merkkiavaruus 16 välilyönti on yhtä suuri kuin väli 70 yli 100 kertomerkki 16 on 1120 yli 100 on 11 piste 2

2. osa: määritä kuinka monen jakson jälkeen saavutetaan 11,2 vuoden opiskelu.

Tutkimusaikasekvenssi on aritmeettinen progressio (AP), jonka suhde on 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Summa 11,2 vuotta saavutetaan:

A jossa n alaindeksi on yhtä kuin a ja 1 alaindeksi plus välilyönti vasen sulkumerkki n miinus 1 oikea sulkumerkki r 11 pilkku 2 vastaa 5 pilkkua 2 plus vasen sulkumerkki n miinus 1 oikea sulkumerkki 0 pilkku 6 11 pilkku 2 on 5 pilkku 2 plus 0 pilkku 6 n miinus 0 pilkku 6 11 pilkku 2 miinus 5 pilkku 2 plus 0 pilkku 6 on 0 pilkku 6 n 6 plus 0 pilkku 6 on yhtä suuri kuin 0 pilkku 6 n 6 pilkku 6 on 0 pilkku 6 n osoittaja 6 pilkku 6 nimittäjän päälle 0 pilkku 6 murtoluvun loppu vastaa n 11 yhtä suuri kuin n

Määrä 11,2 saavutetaan PA: n 11. kaudella.

3. osa: selvitä mikä on vuosien PA: n 11. kausi.

Suhde on a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 vuotta

A 11 alaindeksillä on yhtä kuin a 1 alaindeksillä plus vasen sulkumerkki n miinus 1 oikea sulkumerkki r A 11 alaindeksillä vastaa 1995 plus vasen sulkumerkki 11 miinus 1 oikea sulkumerkki 4 A 11 alaindeksillä on 1995 plus 10,4 A 11 alaindeksillä vastaa 1995 välilyöntiä plus väli 40 A 11 alaindeksillä 2035

Johtopäätös
70 % perustutkinnon suorittamiseen vaadittavasta 16 vuodesta saavutetaan vuonna 2035.

Harjoitus 6

(Palokunta 2021) Lentokoneessa ja paloautossa on 12 000 ja paloautossa 8 000 litran vesisäiliöt. Kuorma-autossa on 2,5 GPM pumppu, mikä tarkoittaa, että se pystyy pumppaamaan 2,5 gallonaa minuutissa.

Arvioi tämän hypoteettisen tilanteen perusteella seuraava kohta ottaen huomioon, että 1 gallona vastaa 3,8 litraa vettä.

Jos vesisäiliön tilavuus on X tuhatta litraa, niin että 8, X ja 12 ovat geometrisessa järjestyksessä, tässä järjestyksessä, niin säiliön tilavuus on alle 10 tuhatta litraa.

Oikein

Väärä

katso vastaus

Oikea vastaus: oikein

tavoite
Tarkista, onko X < 10.

Resoluutio
Geometrisessä progressiossa, PG, keskitermi on geometrinen keskiarvo ääripäiden välillä.

X pienempi kuin 8.12:n neliöjuuri juuren X-väli pienempi kuin luvun 96 neliöjuuri

Itse asiassa luvun 96 likimääräinen neliöjuuri on 9,79. Päättelemme, että säiliön tilavuus X on alle 10 tuhatta litraa.

Harjoitus 7

(Aeronautics 2021) Ole P.G. (24, 36, 54, ...). Lisäämällä tämän G.P: n viidennen ja kuudennen ehdon on ollut

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

katso vastaus

Oikea vastaus: c) 1215/4

tavoite
Lisää a5 + a6

Resoluutio

Vaihe 1: Määritä suhde q.

PG: n syy on:

q on yhtä kuin 2 alaindeksin yli a ja 1 alaindeksi on 36 yli 24 on 3 yli 2

Vaihe 2: Määritä a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

A4:n korvaaminen a5:llä:

a, jossa on 5 alaindeksiä, vastaa välilyöntiä a, jossa on 3 alaindeksiä. tila q tila. välilyönti q välilyönti vastaa välilyöntiä a ja 3 alaindeksiä. tila q neliö

Vaihe 3: Määritä a6

a6 = a5. q

A5:n korvaaminen a6:lla:

a ja 6 alaindeksiä vastaa a 5 alaindeksiä. välilyönti q välilyönti vastaa välilyöntiä a ja 3 alaindeksiä. tila q tila neliö. välilyönti q välilyönti vastaa välilyöntiä a ja 3 alaindeksiä. tila q kuutioituna

Vaihe 4: Lisää a5 + a6 korvaamalla numeroarvot.

a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa a: ta 3 alaindeksillä. q välilyönti neliössä plus väli a 3 alaindeksillä. q kuutioituna a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 välilyöntiä. välilyönti avaa sulut 3 yli 2 sulkee sulut neliön plus välilyönti 54 välilyöntiä. välilyönti avaa sulut 3 yli 2 sulkee sulut kuutioituna a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 välilyöntiä. tilaa 9 yli 4 tilaa plus tila 54 tilaa. tilaa 27 yli 8

Laitetaan 54 todisteeksi:

a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 välilyöntiä avaa sulkeet 9 yli 4 välilyöntiä plus välilyönti 27 yli 8 sulkee sulut a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 avaa sulkeet osoittaja 9 tilaa. välilyönti 8 nimittäjän 4 päälle. välilyönti 8 murtoluvun loppu plus välilyönnin osoittaja 27 välilyönti. välilyönti 4 nimittäjän 4 päälle. välilyönti 8 murtoluvun loppu sulkee sulut a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 avaa sulut 72 yli 32 plus 108 yli 32 sulkee sulut a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 avaa sulkeet 180 yli 32 sulkee sulut a 5 alaindeksillä plus a 6 alaindeksillä vastaa 54 tilaa. välilyönti 180 yli 32 on 9720 yli 32 on 1215 yli 4

Harjoitus 8

(UERJ 2019) Alla kuvattujen kolmioiden A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 kehä on vastaavasti p1, p2, p3. Näiden kolmioiden kärjet toisesta alkaen ovat edellisen kolmion sivujen keskipisteet.

myönnä se pino A 1 alaindeksillä B 1 alaindeksillä vinoviivalla pino B 1 alaindeksillä C 1 alaindeksillä kenoviiva yläpuolella on 7 välilyöntiä ja välilyöntipino A, jossa on 1 alaindeksi C ja 1 alaindeksi, jonka yläpuolella on vinoviiva 4 .

Siten (p1, p2, p3) määrittelee seuraavan etenemisen:

a) suhdearitmeettinen = – 8
b) suhdearitmeettinen = – 6
c) geometrinen suhde = 1/2
d) geometrinen suhde = 1/4

katso vastaus

Oikea vastaus: c) geometrinen suhde = 1/2

Resoluutio

Vaihe 1: määritä kehät p1, p2 ja p3.

p 1 alaindeksillä vastaa välilyöntipinoa A ja 1 alaindeksi B ja 1 alaindeksi, jonka yläpuolella on kauttaviiva sekä välilyöntipino B 1 alaindeksillä C ja 1 alaindeksi, jossa on kauttaviiva plus pino A 1 alaindeksillä C 1 alaindeksillä vinoviivalla p ja 1 alaindeksi on 7 välilyöntiä plus välilyönti 7 välilyöntiä plus välilyönti 4 p 1 alaindeksillä on 18

Yhdensuuntaisuuden avulla varmistamme, että sisäisen kolmion sivut ovat puolet välittömästi ulkoisesta kolmiosta.

Esimerkiksi B2A2 = A1C2

Siten p2 on puolet p1:stä, aivan kuten p3 on puolet p2:sta. Meillä on:

p 2 alaindeksillä on yhtä kuin p 1 alaindeksi jaettuna 2:lla on 9 ja p 3 alaindeksillä on p 2 alaindeksillä jaettuna 2:lla on 9 välilyönti jaettuna 2:lla on 4 pilkkua 5

Vaihe 2: Kokoa eteneminen ja luokittele se.

p 1 alaindeksillä pilkkuväli p 2 alaindeksillä pilkkuväli p 3 alaindeksillä välilyönti vastaa välilyöntiä 18 pilkkua 9 pilkkua 4 pilkkua 5

Osoittautuu, että p2:n määrittämiseksi 18 kerrotaan 1/2:lla.

18 välilyönnin kertomerkki avaruuden 1 puolikas on 9

Myös 9 kerrottuna 1/2:lla on 4,5.

9 välilyönnin kertomerkkiväli 1 puolikas on 9 yli 2 on 4 pilkkua 5

Johtopäätös
Varmistamme, että eteneminen on geometrinen, suhteella 1/2.

Harjoitus 9

(Enem 2021) Kaavio kertoo toimialan rekisteröimän tuotannon tammi-, maalis- ja huhtikuussa.

Helmikuun tuotantoselvitystä ei tehty logististen ongelmien vuoksi. Kolmen muun kuukauden tiedot viittaavat kuitenkin siihen, että tuotanto kasvoi tällä neljän kuukauden jaksolla eksponentiaalisesti, kuten kaaviossa piirretty trendikäyrä osoittaa.

Olettaen, että kasvu tällä ajanjaksolla oli eksponentiaalista, voidaan päätellä, että tämän toimialan tuotanto helmikuussa tuhansissa yksiköissä oli

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

katso vastaus

Oikea vastaus: c) 240.

Resoluutio

PG: n yleinen termi on eksponentiaalinen a n: n funktiona, missä a1 ja q ovat vakiolukuja.