Tekijöihin perustuva polynomit koostuu menetelmistä, jotka on kehitetty polynomin uudelleenkirjoittamiseen polynomien välisenä tulona. Kirjoita polynomi muodossa kertolasku kahden tai useamman tekijän välillä auttaa yksinkertaistamaan algebrallisia lausekkeita ja ymmärtämään polynomia.
Factoring-tapauksia on erilaisia, ja jokaiselle niistä on omat tekniikat.. Olemassa olevat tapaukset ovat: faktorointi todisteiden yhteisellä kertoimella, ryhmittely, kahden neliön erotus, täydellinen neliötrinomi, kahden kuution summa ja kahden kuution erotus.
Lue lisää:Mikä on polynomi?
Yhteenveto factoring-polynomeista
Polynomien faktorointi ovat tekniikoita, joita käytetään esittämään polynomi polynomien välisenä tulona.
Käytämme tätä tekijöiden jakoa yksinkertaistamiseksi algebrallisia lausekkeita.
-
Factoring-tapaukset ovat:
Faktorointi todisteiden yhteisen tekijän mukaan;
Factoring ryhmittelemällä;
täydellinen neliötrinomi;
kahden neliön ero;
kahden kuution summa;
Kahden kuution ero.
Polynomifaktorointitapaukset
Ota huomioon polynomi, on tarpeen analysoida, mihin factoring-tapauksiin tilanne sopii, on: factoring yhteisellä kertoimella todisteissa, factoring ryhmittelyllä, kahden neliön erotus, täydellinen neliötrinomi, kahden kuution summa ja kahden kuution erotus. Katsotaanpa, kuinka tekijöiden lisääminen suoritetaan kussakin niistä.
Älä lopeta nyt... Mainoksen jälkeen on muutakin ;)
Yhteinen tekijä todisteissa
Käytämme tätä factoring-menetelmää, kun polynomin kaikille termeille on yhteinen tekijä. Tämä yhteinen tekijä korostetaan yhtenä tekijänä ja toisena tekijänä, tuloksena jako Tämän yhteisen tekijän termit sijoitetaan sulkeiden sisään.
Esimerkki 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analysoimalla tämän polynomin jokaista termiä on mahdollista nähdä, että x toistuu kaikissa termeissä. Lisäksi kaikki kertoimet (20, 12 ja 8) ovat 4:n kerrannaisia, joten kaikille termeille yhteinen tekijä on 4x.
Kun jokainen termi jaetaan yhteisellä kertoimella, saadaan:
20xy: 4x = 5v
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nyt kirjoitamme tekijöiden jakamisen asettamalla yhteisen tekijän todisteisiin ja summa suluissa olevista tuloksista:
4x (5v + 3x + 2v²)
Esimerkki 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Kunkin termin kirjaimellista osaa analysoimalla on mahdollista nähdä, että a²b toistuu niissä kaikissa. Huomaa, että ei ole olemassa lukua, joka jakaa 2, 3 ja – 4 samanaikaisesti. Joten yhteinen tekijä on vain a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Näin ollen tämän polynomin kertoimet ovat:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Katso myös: Polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolasku - ymmärrä, miten ne tehdään
ryhmittely
Tämä menetelmä on käytetään, kun polynomin kaikille termeille ei ole yhteistä tekijää. Tässä tapauksessa tunnistamme termit, jotka voidaan ryhmitellä yhteisellä tekijällä ja korostaa niitä.
Esimerkki:
Kerro seuraava polynomi:
ax + 4b + bx + 4a
Ryhmittelemme termit, joiden yhteisenä tekijänä on a ja b:
ax + 4a + bx + 4b
Laittamalla a ja b todisteeksi kaksi kertaa kaksi, saamme:
a(x+4)+b(x+4)
Huomaa, että suluissa tekijät ovat samat, joten voimme kirjoittaa tämän polynomin uudelleen muotoon:
(a + b) (x + 4)
täydellinen neliötrinomi
Trinomit ovat polynomeja, joissa on 3 termiä. Polynomi tunnetaan täydellisenä neliötrinomina, kun se on summa neliö tai erotusneliö tulos, tuo on:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Tärkeä: Ei joka kerta kun on kolme termiä, tämä polynomi ei ole täydellinen neliötrinomi. Siksi ennen tekijöiden jakamista on tarkistettava, sopiiko trinomi tähän tapaukseen.
Esimerkki:
Kerroin, jos mahdollista, polynomi
x² + 10x + 25
Tämän trinomin analysoinnin jälkeen poimimme neliöjuuri ensimmäinen ja viimeinen lukukausi:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
On tärkeää varmistaa, että keskustermi eli 10x on yhtä suuri kuin \(2\cdot\ x\cdot5\). Huomaa, että se on todellakin sama. Joten tämä on täydellinen neliötrinomi, joka voidaan ottaa huomioon:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
kahden neliön ero
Kun meillä on kahden neliön erotus, voimme kertoa tämän polynomin kirjoittamalla sen summan ja erotuksen tuloksi.
Esimerkki:
Kerro polynomi:
4x² – 36v²
Ensin laskemme kunkin sen ehdon neliöjuuren:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6v\)
Nyt kirjoitetaan tämä polynomi löydettyjen juurien summan ja erotuksen tuloksi:
4x² – 36v² = (2x + 6v) (2x – 6v)
Lue myös: Algebrallinen laskenta, jossa käytetään monomialeja – opi kuinka nämä neljä operaatiota tapahtuvat
kahden kuution summa
Kahden kuution summa, eli a³ + b³, voidaan laskea:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Esimerkki:
Kerro polynomi:
x³ + 8
Tiedämme, että 8 = 2³, joten:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Kahden kuution ero
Kahden kuution ero, eli a³ – b³, ei toisin kuin kahden kuution summa, voidaan laskea:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Esimerkki:
Ota polynomi pois
8x³ - 27
Tiedämme sen:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Joten meidän on:
\(8x^3-27=\vasen (2x-3\oikea)\)
\(8x^3-27=\vasen (2x-3\oikea)\vasen (4x^2+6x+9\oikea)\)
Ratkaisi faktorointipolynomien harjoituksia
Kysymys 1
Polynomitekijöiden käyttäminen algebrallisen lausekkeen yksinkertaistamiseen \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), löydämme:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Resoluutio:
Vaihtoehto D
Tarkasteltaessa osoittajaa näemme, että x² + 4x + 4 on täydellisen neliötrinomin tapaus ja se voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Osoittaja x² – 4 on kahden ruudun erotus ja se voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Siksi:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Huomaa, että termi x + 2 esiintyy sekä osoittajassa että nimittäjässä, joten sen yksinkertaistus saadaan seuraavasti:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
kysymys 2
(Unifil Institute) Kun otetaan huomioon, että kaksi lukua, x ja y, ovat sellaisia, että x + y = 9 ja x² – y² = 27, x: n arvo on yhtä suuri:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Resoluutio:
Vaihtoehto C
Huomaa, että x² – y² on kahden neliön välinen ero ja se voidaan laskea summan ja erotuksen tulona:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Tiedämme, että x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Sitten voimme perustaa a yhtälöjärjestelmä:
Kahden rivin lisääminen:
2x + 0 v = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
