Vektorit: mitä ne ovat, operaatiot, sovellukset ja harjoitukset

Vektori on esitys, joka määrittää vektorisuureen suuruuden, suunnan ja suunnan. Vektorit ovat suoria segmenttejä, jotka on suunnattu toisessa päässä olevalla nuolella.

Nimeämme vektorit kirjaimella ja pienellä nuolella.

Vektorit karakterisoivat vektorisuureita, jotka ovat suureita, jotka tarvitsevat orientaatiota, eli suuntaa ja suuntaa. Joitakin esimerkkejä ovat: voima, nopeus, kiihtyvyys ja siirtymä. Numeerinen arvo ei riitä, on kuvattava, missä nämä suuret vaikuttavat.

vektorin moduuli

Vektorin moduuli tai intensiteetti on sen numeerinen arvo, jota seuraa sen edustaman suuruuden mittayksikkö, esimerkiksi:

Vektori, joka edustaa pituuden suuruutta, kahden metrin moduulilla.

Merkitsemme moduulin palkkien väliin pitäen nuolen tai vain kirjaimen ilman palkkeja ja ilman nuolta.

Vektorin pituus on verrannollinen moduuliin. Suurempi vektori edustaa suurempaa moduulia.

vektorimoduuli on 4 yksikköä, kun taas vektori on 2 yksikköä.

Vektorin suunta

Vektorin suunta on sen tukiviivan kaltevuus, jolla se määräytyy. Jokaisella vektorilla on vain yksi suunta.

Vektorien pystysuorat, vaaka- ja vinot (vinot) suunnat.

vektorin tunne

Vektorin suunta näkyy nuolella. Sama suunta voi sisältää kaksi suuntaa, kuten ylös tai alas ja vasemmalle tai oikealle.

Vektorit, joilla on sama suunta, vaaka- ja vastakkaiset suunnat.

Kun suunta otetaan positiiviseksi, vastakkainen suunta, negatiivinen, esitetään miinusmerkillä ennen vektorisymbolia.

Tuloksena oleva vektori

Tuloksena oleva vektori on vektorioperaatioiden tulos ja vastaa vektoreiden joukkoa. On kätevää tietää vektori, joka edustaa useamman kuin yhden vektorin tuottamaa vaikutusta.

Esimerkiksi kehoon voi kohdistua joukko voimia, ja haluamme tietää tuloksen, jonka ne yhdessä tuottavat tälle keholle. Jokaista voimaa edustaa vektori, mutta tulos voidaan esittää vain yhdellä vektorilla: resultanttivektorilla.

Tuloksena oleva vektori, , vaakasuuntainen ja suunta oikealle, on vektorien yhteen- ja vähennysten tulos. , , ja . Tuloksena oleva vektori osoittaa kehon taipumusta liikkua tässä suunnassa.

Pystysuuntaisilla vektoreilla on sama koko, eli sama moduuli. Koska niillä on vastakkaiset merkitykset, ne kumoavat toisensa. Tämä osoittaa, että laatikko ei liiku pystysuunnassa.

Kun vektoreita analysoidaan ja , joilla on sama suunta ja vastakkaiset suunnat, ymmärrämme, että osa voimasta "jää" oikealle vektorina on suurempi kuin , eli moduulin se on isompi.

Tuloksena olevan vektorin määrittämiseksi suoritamme vektorien yhteen- ja vähennysoperaatioita.

Samansuuntaisten vektorien yhteen- ja vähennyslasku

Kanssa yhtäläiset aistit, lisäämme moduulit ja pidämme suunnan ja suunnan.

Esimerkki:

Graafisesti asetamme vektorit peräkkäin muuttamatta niiden moduuleja. Yhden alun on oltava sama kuin toisen lopun.

Kommutatiivinen ominaisuus summaus on voimassa, koska järjestys ei muuta tulosta.

Kanssa vastakkaisia ​​aisteja, vähennämme moduulit ja pidämme suunnan. Tuloksena olevan vektorin suunta on suurimman moduulin vektorin suunta.

Esimerkki:

vektori on jäljelle jäänyt osa , vetäytymisen jälkeen .

Yhden vektorin vähentäminen vastaa toisen vastakohtaan lisäämistä.

Kohtisuorien vektorien yhteen- ja vähennyslasku

Kahden kohtisuoran suuntaisen vektorin lisäämiseksi siirrämme vektoreita muuttamatta niiden moduulia siten, että yhden alku on sama kuin toisen loppu.

Tuloksena oleva vektori yhdistää ensimmäisen alun toisen loppuun.

Kahden kohtisuoran vektorin välisen tuloksena olevan vektorin suuruuden määrittämiseksi sovitamme kahden vektorin alun.

Tuloksena olevan vektorin moduuli määräytyy Pythagoraan lauseella.

Vinovektorien yhteen- ja vähennyslasku

Kaksi vektoria ovat vinoja, kun ne muodostavat kulman niiden suuntien välille, jotka eivät ole 0°, 90° ja 180°. Vinovektorien lisäämiseen tai vähentämiseen käytetään suuntaviiva- ja monikulmioviivamenetelmiä.

suunnikasmenetelmä

Suorittaaksemme kahden vektorin välisen suuntaviivan menetelmän tai säännön ja piirtääksesi tuloksena olevan vektorin, noudatamme näitä vaiheita:

Ensimmäinen askel on sijoittaa niiden origo samaan pisteeseen ja piirtää vektorien kanssa yhdensuuntaiset viivat suunnikkaan muodostamiseksi.

Toinen on piirtää diagonaalinen vektori suuntaviivalle vektorien liiton ja yhdensuuntaisten suorien liiton väliin.

Pisteviivat ovat yhdensuuntaisia ​​vektorien kanssa ja muodostettu geometrinen kuvio on suunnikas.

Tuloksena oleva vektori on viiva, joka yhdistää vektorien origon rinnakkaisiin.

O tuloksena olevan vektorin moduuli saadaan kosinilailla.

Missä:

R on tuloksena olevan vektorin suuruus;
a on vektorimoduuli ;
b on vektorin moduuli ;
on vektorien suuntien väliin muodostunut kulma.

Suunnikkakaaviomenetelmää käytetään vektoriparin lisäämiseen. Jos haluat lisätä enemmän kuin kaksi vektoria, sinun on lisättävä ne kaksi kerrallaan. Kahden ensimmäisen summasta saatuun vektoriin lisätään kolmas ja niin edelleen.

Toinen tapa lisätä enemmän kuin kaksi vektoria on käyttää monikulmioviivamenetelmää.

monikulmioviivamenetelmä

Monikulmioviivamenetelmää käytetään vektoreiden lisäämisestä saadun vektorin löytämiseen. Tämä menetelmä on erityisen hyödyllinen, kun lisätään enemmän kuin kaksi vektoria, kuten seuraavat vektorit , , ja .

Käyttääksemme tätä menetelmää meidän on järjestettävä vektorit siten, että yhden (nuolen) loppu osuu yhteen toisen alun kanssa. On tärkeää säilyttää moduuli, suunta ja suunta.

Kun kaikki vektorit on järjestetty monikulmioviivan muotoon, meidän on jäljitettävä tuloksena oleva vektori, joka kulkee ensimmäisen alusta viimeisen loppuun.

On tärkeää, että tuloksena oleva vektori sulkee monikulmion niin, että sen nuoli osuu yhteen viimeisen vektorin nuolen kanssa.

Kommutatiivinen ominaisuus on voimassa, koska järjestys, johon sijoitamme plot-vektorit, ei muuta tuloksena olevaa vektoria.

vektorin hajoaminen

Vektorin hajottaminen on tämän vektorin muodostavien komponenttien kirjoittamista. Nämä komponentit ovat muita vektoreita.

Jokainen vektori voidaan kirjoittaa muiden vektorien koostumukseksi vektorisumman kautta. Toisin sanoen voimme kirjoittaa vektorin kahden vektorin summaksi, joita kutsumme komponenteiksi.

Käytämme karteesista koordinaattijärjestelmää, jossa on kohtisuorat x- ja y-akselit, vektorin komponentit.

vektori on tulos komponenttivektorien välisestä vektorisummasta. ja .

vektori kallistaa muodostaa suoran kolmion x-akselin kanssa. Näin ollen määritämme komponenttivektorien moduulit trigonometrian avulla.

Komponenttimoduuli ax.

Komponenttimoduuli ay.

vektorimoduuli saadaan Pythagoraan lauseesta.

Esimerkki
Voima suoritetaan vetämällä lohko maasta. 50 N: n moduulivoima on kallistettu 30° vaakatasosta. Määritä tämän voiman vaaka- ja pystykomponentit.

Tiedot:

Reaaliluvun kertominen vektorilla

Kun reaaliluku kerrotaan vektorilla, tuloksena on uusi vektori, jolla on seuraavat ominaisuudet:

• Sama suunta, jos reaaliluku ei ole nolla;
• Sama suunta, jos reaaliluku on positiivinen, ja vastakkaiseen suuntaan, jos se on negatiivinen;
• Moduuli on reaaliluvun moduulin ja kerrotun vektorin moduulin tulo.

Reaaliluvun ja vektorin välinen tulo

Missä:
on kertolaskusta saatu vektori;
on todellinen luku;
on vektori, jota kerrotaan.

Esimerkki
Olkoon reaaliluku n = 3 ja vektori modulo 2:n tulo on yhtä suuri:

Moduulilaskenta

Suunta ja suunta ovat samat.

Harjoitus 1

(Enem 2011) Kitkavoima on voima, joka riippuu kappaleiden välisestä kosketuksesta. Se voidaan määritellä kappaleiden siirtymätaipumuksen vastaiseksi voimaksi, ja se syntyy kahden kosketuksissa olevan pinnan välisistä epäsäännöllisyyksistä. Kuvassa nuolet edustavat kehoon vaikuttavia voimia ja suurennettu piste edustaa kahden pinnan välisiä epäsäännöllisyyksiä.

Kuvassa vektorit, jotka edustavat siirtymän ja kitkan aiheuttavia voimia, ovat vastaavasti:

The)

B)

ç)

d)

ja)

Katso vastaus

Oikea vastaus: kirjain a)

Nuolet edustavat vaakasuuntaisessa liikkeessä vaikuttavien voimien vektoreita, koska ne ovat toiminta-reaktio-pari, niillä on vastakkaiset suunnat.

Pystysuorat nuolet edustavat painovoiman ja normaalivoiman toimintaa, ja koska ne ovat yhtä suuret, ne kumoavat toisensa ilman liikettä pystysuunnassa.

Harjoitus 2

(UEFS 2011) Kuvan vektorikaavio hahmottelee kahden kuminauhan oikomishoidossa olevan henkilön hampaan kohdistamia voimia.

Olettaen F = 10,0N, sen45° = 0,7 ja cos45° = 0,7, jousteiden hampaan kohdistaman voiman intensiteetti N: na on yhtä suuri kuin

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Katso vastaus

Oikea vastaus: c) 2√85

Hampaan kohdistuvan voiman intensiteetti saadaan kosinilain mukaan.

a ja b ovat 10 N.

Neliöjuuren kerroin antaa meille:

Siksi kuminauhan hampaan kohdistaman resultanttivoiman intensiteetti on .

Harjoitus 3

(PUC RJ 2016) Kuvassa voimat F1, F2, F3 ja F4 muodostavat suoran kulman toisiinsa nähden ja niiden moduulit ovat vastaavasti 1 N, 2 N, 3 N ja 4 N.

Laske nettovoiman moduuli N.

a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Katso vastaus

Oikea vastaus: d) 2√ 2

Käytämme monikulmioviivamenetelmää tuloksena olevan vektorin määrittämiseen. Tätä varten järjestämme vektorit uudelleen siten, että yhden loppu osuu toisen alun kanssa, seuraavasti:

Käyttämällä koordinaattijärjestelmää, jonka origo on tuloksena olevan vektorin alussa, voimme määrittää sen komponenttien moduulit seuraavasti:

Näin ollen meidän on:

Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N

Tuloksena olevan vektorin suuruus määräytyy Pythagoraan lauseen avulla.

Siksi nettovoiman moduuli on yhtä suuri kuin .

oppia lisää

• Vektorit: yhteen-, vähennys- ja hajottelu.
• Vektorimäärät

✖