An polynomiyhtälö on ominaista, että sillä on a polynomi yhtä kuin nolla. Sitä voidaan luonnehtia polynomin asteella, ja mitä suurempi tämä aste, sitä suurempi on sen ratkaisun tai juuren löytämisen vaikeusaste.
Tässä yhteydessä on myös tärkeää ymmärtää, mikä on algebran peruslause, joka väittää sen jokaisella polynomiyhtälöllä on vähintään yksi kompleksinen ratkaisu, toisin sanoen: ykkösasteen yhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu, toisen asteen yhtälöllä vähintään kaksi ratkaisua ja niin edelleen.
Lue myös: Mitkä ovat polynomiluokat?
Mikä on polynomiyhtälö
Polynomiyhtälölle on tunnusomaista, että sen polynomi on yhtä suuri kuin nolla, joten jokainen lauseke, jonka tyyppi on P(x) = 0, on polynomiyhtälö, jossa P(x) on polynomi. Alla on polynomiyhtälön yleinen tapaus ja joitain esimerkkejä.
Harkitseei, an -1, a n -2, …,1, a0 ja x todellisia lukuja, ja n on positiivinen kokonaisluku, seuraava lauseke on n-asteen polynomiyhtälö.
- Esimerkki
Seuraavat yhtälöt ovat polynomeja.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Kuten polynomeilla, myös polynomiyhtälöillä on aste. Määrittääksesi polynomiyhtälön asteen, etsi vain suurin potenssi, jonka kerroin on eri kuin nolla. Siksi edellisten kohteiden yhtälöt ovat vastaavasti:
a) Yhtälö on peräisin neljäs aste:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Yhtälö on peräisin lukio:5x2 – 3 = 0.
c) Yhtälö on peräisin ensimmäisen asteen:6x – 1 = 0.
d) Yhtälö on kolmas aste: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Kuinka ratkaista polynomiyhtälö?
Polynomiyhtälön ratkaisutapa riippuu sen asteesta. Mitä suurempi yhtälön aste on, sitä vaikeampi se on ratkaista. Tässä artikkelissa näytämme ratkaisumenetelmän polynomiyhtälöille ensimmäinen aste, toinen aste ja bisquare.
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälö
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälöä kuvaa a asteen 1 polynomi. Joten voimme kirjoittaa ensimmäisen asteen yhtälön yleensä seuraavasti.
Harkitse kahta reaalilukua The ja B kun ≠ 0, seuraava lauseke on ensimmäisen asteen polynomiyhtälö:
ax + b = 0
Tämän yhtälön ratkaisemiseksi meidän on käytettävä vastaavuusperiaate, eli kaikkea, mikä toimii tasa-arvon toisella puolella, on toimittava myös toisella puolella. Määrittääksemme ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisun meidän täytyy eristää tuntematon. Tätä varten ensimmäinen askel on poistaa B tasa-arvon vasemmalla puolella ja sitten vähentääairot b tasa-arvon molemmilla puolilla.
kirves + b - B = 0 - B
kirves = - b
Huomaa, että tuntemattoman x: n arvoa ei ole eristetty, kerroin a on eliminoitava yhtälön vasemmalta puolelta, ja sitä varten jaetaan molemmat puolet The.
- Esimerkki
Ratkaise yhtälö 5x + 25 = 0.
Ongelman ratkaisemiseksi meidän on käytettävä ekvivalenssiperiaatetta. Prosessin helpottamiseksi jätämme pois operaation kirjoittamisen tasa-arvon vasemmalle puolelle, koska vastaa sitten sanomista, että aiomme "välittää" numeron toiselle puolelle vaihtamalla etumerkkiä (käänteinen operaatio).
Saat lisätietoja tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemisesta tekstistämme: Ensimmäisen asteen yhtälö tuntemattoman kanssa.
Toisen asteen polynomiyhtälö
Toisen asteen polynomiyhtälöllä on a: n ominaisuus toisen asteen polynomi. Tarkastellaan siis reaalilukuja a, b ja c, joiden a ≠ 0. Toisen asteen yhtälö saadaan seuraavasti:
kirves2 + bx + c = 0
Ratkaisusi voidaan määrittää menetelmällä bhaskara tai factoringin avulla. Jos haluat tietää lisää tämän tyyppisistä yhtälöistä, lue: Eqtoiminta stoinen grau.
→ Bhaskaran menetelmä
Käyttämällä Bhaskaran menetelmää sen juuret annetaan seuraavalla kaavalla:
- Esimerkki
Etsi yhtälön x ratkaisu2 – 3x + 2 = 0.
Huomaa, että yhtälön kertoimet ovat vastaavasti a = 1, b = – 3 ja c = 2. Korvaamalla nämä arvot kaavassa, meidän on:
→ Faktorisointi
Katso, että lauseke x on mahdollista faktoroida2 – 3x + 2 = 0 ideaa käyttäen polynomifaktorointi.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Huomaa nyt, että meillä on tulo, joka on nolla, ja tulo on nolla vain, jos yksi tekijöistä on nolla, joten meidän on:
x – 2 = 0
x = 2
tai
x - 1 = 0
x = 1
Katso, että olemme löytäneet yhtälön ratkaisun kahdella eri menetelmällä.
bi-neliöyhtälö
THE bisquare-yhtälö se on a neljännen asteen polynomiyhtälön erityistapaus, tavallisesti neljännen asteen yhtälö kirjoitetaan muodossa:
kirves4 + bx3 + laatikko2 + dx + e = 0
missä numerot a B C D ja ja ovat todellisia, kun ≠ 0. Neljännen asteen yhtälöä pidetään bisquareina, kun kertoimet b = d = 0, eli yhtälö on muodossa:
kirves4 + laatikko2 + ja = 0
Katso alla olevasta esimerkistä, kuinka tämä yhtälö ratkaistaan.
- Esimerkki
Ratkaise x-yhtälö4 – 10x2 + 9 = 0.
Yhtälön ratkaisemiseksi käytämme seuraavaa tuntematonta muutosta, ja aina kun yhtälö on bisquare, teemme tämän muutoksen.
x2 =p
Huomaa bi-neliöyhtälöstä, että x4 = (x2)2 ja siksi meidän on:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
varten2 – 10p + 9 = 0
Katso, että meillä on nyt toisen asteen polynomiyhtälö ja voimme käyttää Bhaskaran menetelmää seuraavasti:
On kuitenkin muistettava, että harjoituksen alussa tehtiin tuntematon muutos, joten meidän on käytettävä korvauksessa löydettyä arvoa.
x2 =p
Arvolle p = 9 meillä on tämä:
x2 = 9
x = 3
tai
x'' = – 3
Jos p = 1
x2 = 1
x = 1
tai
x'' = – 1
Siksi bisquare-yhtälön ratkaisujoukko on:
S = {3, –3, 1, –1}
Lue myös: Briot-Ruffinin käytännöllinen laite – polynomien jako
Algebran peruslause (TFA)
Algebran (TFA) peruslause, jonka Gauss todisti vuonna 1799, sanoo, että jokaisella seuraavassa esitetyllä polynomiyhtälöllä on vähintään yksi kompleksijuuri.
Polynomiyhtälön juuri on sen ratkaisu, eli tuntematon arvo tekee yhtälön tosi. Esimerkiksi ensimmäisen asteen yhtälöllä on juuri määritetty juuri, samoin kuin toisen asteen yhtälöllä, jolla on vähintään kaksi juuria, ja bisquareilla, jolla on vähintään neljä juuria.
ratkaistuja harjoituksia
Kysymys 1 – Määritä x: n arvo, joka tekee yhtälöstä totta.
2x - 8 = 3x + 7
Resoluutio
Huomaa, että yhtälön ratkaisemiseksi se on järjestettävä, eli jätettävä kaikki tuntemattomat yhtälön vasemmalle puolelle.
2x - 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Ekvivalenssiperiaatteella voimme kertoa yhtälön molemmat puolet samalla luvulla, ja koska haluamme löytää x: n arvon, kerromme molemmat puolet arvolla –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
kysymys 2 – Marcosilla on 20 R$ enemmän kuin Joãolla. Yhdessä he onnistuvat ostamaan kaksi paria tennareita, jotka maksavat 80 R$ kukin, eikä rahaa ole jäljellä. Kuinka monta realia Johnilla on?
Resoluutio
Oletetaan, että Markuksella on x realia, kun Johnilla on 20 realia enemmän, joten hänellä on x + 20.
Marks → x reals
João → (x + 20) real
miten he ostivat kaksi paria tennareita jotka maksavat 80 realia, joten jos yhdistämme jokaisen osat yhteen, meidän on:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160–20
2x = 140
Siksi Markilla oli 70 realia ja Joãolla 90 realia.
Kirjailija: Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
