Newtonin binomi on mikä tahansa binomi, joka on nostettu numeroksi ei mistä ei se on luonnollinen luku. Fyysikon tutkimusten ansiosta Isaac Newton binomiaalien voimista se oli mahdollista tarkista säännöllisyydet, jotka helpottavat polynomin esittämistä syntyy binomiaalin voimasta.
Näitä säännönmukaisuuksia huomioiden se tuli myös mahdolliseksi löytää vain yksi termeistä polynomi, tarvitsematta laskea kaikkea, käyttämällä binomin yleisen termin kaavaa. Lisäksi Newton huomasi suhde kombinatorinen analyysija Newtonin binomiaalit, mikä teki Pascalin kolmio loistava työkalu Newton-binomin käytännön kehittämiseen.
Lue myös: Briot-Ruffini-laite - menetelmä polynomien jakamiseksi
Määritelmä Newtonin binomi
Määritämme binomiksipolynomi, jolla on kaksi termiä. Joissakin matematiikan ja fysiikan sovelluksissa on tarpeen laskea binomin tehot. Prosessin helpottamiseksi Isaac Newton huomasi tärkeitä säännönmukaisuuksia joiden avulla voimme löytää polynomin, joka johtuu binomiaalin voimasta.
Joissakin tapauksissa laskenta on melko yksinkertaista: suorita vain binomiaalin kertominen itse käyttämällä jakeluominaisuutta. Järjestelmän 3 tehoon saakka kehitämme ilman paljon vaivaa, koska ne ovat tunnettuja merkittäviä tuotteita, mutta korkeammille voimille, lasketaan kertomalla termi itsessään ei joskus se on paljon työtä.
Esimerkkejä
Muista, että jokainen nollaan korotettu luku on yhtä suuri kuin 1 ja että jokainen arvoksi nostettu nolla on itse, mikä pätee myös binomeihin.
Newton huomasi a termien kertoimien ja yhdistelmän välinen suhde, joka mahdollisti binomitehon laskemisen suoraan seuraavasta kaavasta:
Kaavan ymmärtäminen:
Tarkastellaan ensin kunkin termin kirjaimellista osaa, joka on kirjain sen eksponentilla. Huomaa, että jokaisella termillä eksponentti “a ”laski, alkaen n: stä, sitten siirtymällä n - 1: een, ja niin edelleen, kunnes se oli 1 edellisellä ja 0 viimeisellä termillä (mikä tekee a-kirjaimesta edes edellisen ilmaisun).
tunnistaminen ja sen edustajat:
Analysoidaan nyt "b": n eksponentit, jotka kasvavat aina nollasta alkaen ensimmäisellä termillä ( jolloin kirjain b ei näy ensimmäisellä termillä), 1 toisella termillä ja niin edelleen, kunnes se on yhtä suuri eiviime kaudella.
tunnistaminen B ja sen edustajat:
Ymmärretään kirjaimellinen osa analysoi kertoimet, jotka ovat kaikki yhdistelmiä ei elementit, jotka on otettu 0: sta 0: een, 1: stä 1: een, 2: een 2 ja niin edelleen viimeiseen termiin asti, joka on yhdistelmä ei elementit on otettu ei sisään ei.
On huomionarvoista, että on tärkeää hallita laskenta yhdistelmiä voidakseen löytää kertoimet. Muista, että yhdistelmien laskemiseksi meidän on:
Yhdistelmävaste on aina a luonnollinen luku.
Katso myös: Polynomijako: miten se ratkaistaan?
Esimerkki: Laske Newtonin binomi (a + b) neljänteen voimaan.
1. vaihe: kirjoita polynomi kaavan avulla.
2. vaihe: laskea yhdistelmät.
Korvaamalla yhdistelmät löydetty polynomi on:
Voit nähdä, että tällaisten tapausten ratkaiseminen on edelleen työlästä, eksponentista riippuen, mutta silti se on nopeampi kuin laskenta käyttämällä jakeluominaisuutta. Työkalu, joka voi auttaa tässä laskennassa, on Pascalin kolmio.
Pascalin kolmio
Blaise Pascal kehitti Pascalin kolmion yhdistelmiä tutkittaessa. Hän on tavalla, joka helpottaa yhdistelmien laskemista. Pascal-kolmion käyttäminen tekee Newtonin binomin kirjaimellisten osien kertoimien löytämisen nopeammaksi ja helpommaksi tarvitsematta laskea kaikkia yhdistelmiä.
Pascalin kolmion muodostamiseksi suoraan muistetaan kaksi tilannetta, joissa yhdistelmälaskelma on yhtä suuri kuin 1.
Täten kaikkien rivien ensimmäinen ja viimeinen termi ovat aina yhtä suuria kuin 1. Keskeiset termit on rakennettu sen yläpuolella olevan sanan ja sen edellisen sarakkeen naapurin summasta, kuten alla olevassa esityksessä:
Seuraavien rivien rakentamiseksi muista vain, että ensimmäinen termi on 1 ja viimeinenkin. Sitten riittää tehdä summat, jotta löydetään keskeiset termit.
Pääsy myös: Polynomihajoamislause
Esimerkki: Laske (a + b) kuudenteen tehoon.
1. vaihe: käytä binomiaalikaavaa.
2. vaihe: rakenna Pascalin kolmio kuudennelle viivalle.
3. vaihe: Korvaa yhdistelmät rivillä 6 olevilla arvoilla, jotka ovat binomiaalin jokaisen termin kertoimet.
Mikä määrittää binomiaalista rakennettavien rivien lukumäärän, on n: n arvo. On tärkeää muistaa, että ensimmäinen rivi on nolla.
Newtonin binomi yleinen termi
Newtonin yleinen termi binomi on kaava, jonka avulla voimme laskea binomin termin tarvitsematta kehittää koko polynomia eli voimme tunnista mikä tahansa termi ensimmäisestä viimeiseen. Lasketaan kaavan avulla suoraan etsimämme termi.
The: ensimmäinen termi
B: toinen termi
n: eksponentti
p + 1: hakusana
Esimerkki: Etsi binomin 11. termi (a + b)12.
Resoluutio:
Katso myös: Esittelyt kautta algebrallisen laskennan
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (Cesgranrio) x: n kerroin4 polynomissa P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Resoluutio
Haluamme löytää tietyn termin binomin ratkaisemiseksi; Tätä varten meidän on löydettävä p: n arvo.
Tiedämme, että ensimmäinen termi tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin x, joten n - p = 4, kuten n = 6, meillä on:
Siksi kerroin on 60 (vaihtoehto B).
Kysymys 2 - (Unifor) Jos binomikehityksen keskeinen termi (4x + ky)10 8064x5y5, niin vaihtoehto k, joka vastaa k: n arvoa, on:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Resoluutio: Tiedämme, että keskitermillä on samat kertoimet (p = 5). Löydetään kuudes termi, koska p + 1 = 6. Lisäksi meillä on, että a = 4x; b = ky ja n = 10, joten:
Vaihtoehto D.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm