Pascalin kolmio: mikä se on, funktio, ominaisuudet

protection click fraud

O Pascalin kolmio se on melko vanha matematiikan työkalu. Historian aikana se on saanut useita nimiä, mutta nykyään suosituimmat ovat aritmeettinen kolmio ja Pascalin kolmio. Toinen nimi on kunnianosoitus matemaatikolle, joka antoi useita panoksia tämän kolmion tutkimukseen. tarkoittaa, että kolmion keksi hän, mutta hän oli se, joka tutki tätä tarkemmin työkalu.

Pascalin kolmion ominaisuuksista on mahdollista rakentaa se loogisesti. Erottaa myös sinun suhde yhdistelmiä tutkittu kombinatorisessa analyysissä. Pascal-kolmion termit vastaavat myös binomiaalikertoimia, ja siksi se on erittäin hyödyllinen minkä tahansa Newton-binomiaalin laskemiseen.

Lue myös: Briot-Ruffinin laite - menetelmä polynomien jakamiseen

Pascalin kolmion rakentaminen

Pascalin kolmio tuotetaan yhdistelmien tuloksestaOn kuitenkin olemassa käytännöllinen menetelmä, joka helpottaa sen rakentamista. Ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake lasketaan rivin nollaksi ja sarakkeen nollaksi. Voimme käyttää niin monta riviä kuin tarvitaan

instagram story viewer

Tässä konstruktiossa kolmiossa voi siis olla äärettömät viivat. Linjojen tarkentamisen perustelut ovat aina samat. Katso:

Tiedämme sen kolmiotermit ovat yhdistelmiä, opiskeli vuonna kombinatorinen analyysi. Pascalin kolmion korvaamiseksi numeerisilla arvoilla tiedämme, että luvun yhdistelmät nollan kanssa ja luvun itsensä kanssa ovat aina yhtä suuria kuin 1. Siksi ensimmäinen ja viimeinen arvo ovat aina 1.

Muiden löytämiseksi aloitamme rivillä 2, koska rivi 0 ja rivi 1 ovat jo valmiit. Rivillä 2, jotta löydettäisiin yhdistelmä 2:sta 1:een, yllä olevalle riville eli riville 1 lisätään termi sen yläpuolelle samaan sarakkeeseen ja sen yläpuolelle edelliseen sarakkeeseen, kuten kuvassa :

Rakennuslinjan 2 jälkeen on mahdollista rakentaa linja 3 suorittamalla samalla tavalla.

Jatkamalla tätä menettelyä, löydämme kaikki termit – tässä tapauksessa riville 5 asti – mutta on mahdollista rakentaa niin monta linjoa kuin on tarpeen.

Pascalin kolmion ominaisuudet

On joitakin Pascalin kolmion ominaisuudet, johtuen sen rakentamisen säännöllisyydestä. Nämä ominaisuudet ovat hyödyllisiä yhdistelmien kanssa työskentelyssä, itse kolmioviivojen rakentamisessa sekä viivojen, sarakkeiden ja diagonaalien summassa.

1. omaisuus

Ensimmäinen kiinteistö oli se, jota käytimme kolmion rakentamiseen. Joten siihen Etsi termi Pascalin kolmiosta, lisää vain termi, joka on sen yläpuolella olevalla rivillä, ja sama sarake termin kanssa, joka on sarakkeessa ja sitä edeltävässä rivissä. Tämä ominaisuus voidaan esittää seuraavasti:

Tämä ominaisuus tunnetaan nimellä Stifelin suhde ja on tärkeää helpottaa kolmion rakentamista ja löytää kunkin viivan arvot.

2. omaisuus

Kaikkien rivin termien summa lasketaan seuraavasti:

s_ei=2^ei, mistä ei on rivin numero.

Esimerkkejä:

Tämän ominaisuuden avulla on mahdollista tietää rivin kaikkien ehtojen summa joutumatta välttämättä rakentamaan Pascalin kolmiota. Esimerkiksi rivin 10 summa voidaan laskea kahdella¹⁰= 1024. Vaikka kaikkia termejä ei tunneta, on jo mahdollista tietää koko rivin summaarvo.

3. omaisuus

Tietyn sarakkeen alusta peräkkäisten termien summa varten tiettyyn riviin asti ei on sama kuin rivillä oleva termi n+1 selkä ja pylväs p+1 myöhemmin, kuten alla:

4. omaisuus

Diagonaalin summa, joka alkaa sarakkeesta 0 ja menee termiin sarakkeessa p ja rivissä n on yhtä suuri kuin termi samassa sarakkeessa (p), mutta alla olevalla rivillä (n+1), kuten kuvassa :

5. omaisuus

Pascalin kolmion viivoissa on symmetriaa. Ensimmäinen ja toinen termi ovat yhtä suuret, toinen ja toiseksi viimeinen termi ovat yhtä suuret ja niin edelleen.

Esimerkki:

Rivi 6: 1615 20 156 1.

Huomaa, että termit ovat yhtä suuria kuin kaksi, paitsi keskeinen termi.

Katso myös: Polynomijako: kuinka ratkaista se?

Newtonin binomi

Määrittelemme Newtonin binomiaalin a yhden voima polynomi jossa on kaksi termiä. Binomin laskenta liittyy Pascal-kolmioon, josta tulee mekanismi, jolla lasketaan niin sanotut binomikertoimet. Binomin laskemiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:

Huomaa, että eksponenttiarvo The se pienenee, kunnes viimeisellä termillä se on yhtä suuri kuin The⁰. Tiedämme, että jokainen nollaan korotettu luku on yhtä suuri kuin 1, joten termi The ei näy viimeisellä lukukaudella. Huomaa myös, että eksponentti B alkaa jollakin B⁰, pian B ei esiinny ensimmäisellä termillä ja kasvaa saavuttamiseen asti B^ei, viimeisellä lukukaudella.

Lisäksi jokaiseen termiin liittyvää numeroa kutsumme kertoimeksi – tässä tapauksessa binomikertoimeksi. Jotta ymmärrät paremmin tämän tyyppisen binomiaalin ratkaisemisen, käytä tekstiämme: Newtonin binomi.

binomikerroin

Binomikerroin ei ole muuta kuin yhdistelmä, joka voidaan laskea kaavalla:

Newtonin binomiaalin laskemisen helpottamiseksi on kuitenkin välttämätöntä käyttää Pascal-kolmiota, sillä se antaa meille yhdistelmän tuloksen nopeammin.

Esimerkki:

Löytääksemme binomikertoimen tuloksen, etsitään Pascalin kolmion rivin 5 arvot, jotka ovat {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1v⁵

Yksinkertaisesti sanottuna:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Pascalin kolmio muodostuu binomiaalisista kertoimista.

ratkaistuja harjoituksia

Kysymys 1 - Alla olevan lausekkeen arvo on?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Resoluutio

Vaihtoehto A.

Ryhmittelemällä positiiviset ja negatiiviset arvot uudelleen, meidän on:

Huomaa, että itse asiassa laskemme Pascalin kolmion rivin 4 ja rivin 3 välisen vähennyksen. Omaisuuden perusteella tiedämme, että:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

Kysymys 2 - Mikä on alla olevan lausekkeen arvo?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Resoluutio

Vaihtoehto B.

Huomaa, että lisäämme termit Pascalin kolmion sarakkeesta 1 riville 7 ja sitten 3. ominaisuus, tämän summan arvo on yhtä suuri kuin termi, joka sijaitsee rivillä 7+1 ja sarakkeessa 1+1, eli rivillä 8, sarake 2. Koska haluamme vain yhden arvon, koko Pascal-kolmion rakentaminen ei ole kätevää.