Trigonometria on tärkeä matematiikan teema, jonka avulla pystytään tuntemaan sivut ja kulmat suorakolmiossa sini-, kosini- ja tangentin kautta muiden trigonometristen toimintojen lisäksi.
Parantaaksesi opintojasi ja laajentaaksesi tietosi seuraa 8 harjoituksen luetteloa ja 4 valintakokeen kysymystä, jotka kaikki ratkaistaan vaihe vaiheelta.
Harjoitus 1
Eräs henkilö havaitsi aamulla rakennuksen varjon maan päällä ja havaitsi sen olevan 63 metriä, kun auringon säteet tekivät 30 asteen kulman pinnan kanssa. Laske näiden tietojen perusteella rakennuksen korkeus.
Oikea vastaus: Noin 36,37 m.
Rakennus, varjo ja auringon säde määrittävät suorakulmion. 30 ° kulman ja tangentin avulla voimme määrittää rakennuksen korkeuden.
Koska rakennuksen korkeus on h, meillä on:
Harjoitus 2
Halkaisijaltaan 3 halkaisijaltaan segmentti AC, jota kutsutaan soinnuksi, muodostaa 90 ° kulman toisen saman pituisen sointu CB: n kanssa. Mikä on merkkijonojen mitta?
Oikea vastaus: Köyden pituus on 2,12 cm.
Kun segmentit AC ja CB muodostavat 90 ° kulman ja ovat saman pituisia, muodostunut kolmio on tasasuuruinen ja pohjakulmat ovat samat.
Koska kolmion sisäisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 180 ° ja kulma on jo 90 °, on jäljellä toinen 90 °, joka jaetaan tasan kahden peruskulman välillä. Siten näiden arvo on yhtä suuri kuin 45º.
Koska halkaisija on yhtä suuri kuin 3 cm, säde on 1,5 cm ja voimme käyttää merkin pituuden määrittämiseen kosinia 45 °.
Harjoitus 3
Mestaruuteen osallistuva pyöräilijä lähestyy maalilinjaa rinteen yläosassa. Testin viimeisen osan kokonaispituus on 60 m ja rampin ja vaakasuoran väliin muodostuva kulma on 30 °. Tämän tietäessä lasketaan pystysuora korkeus, jonka pyöräilijän on kiipeettävä.
Oikea vastaus: Korkeus on 30 m.
Kutsumalla korkeutta h, meillä on:
Harjoitus 4
Seuraava kuva muodostuu kolmesta kolmiosta, joissa korkeus h määrittää kaksi suorakulmaa. Elementin arvot ovat:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Etsi a + b: n arvo.
Oikea vastaus:
Voimme määrittää segmenttien a ja b mitat käyttämällä annettujen kulmien tangentteja.
Lasketaan:
B: n laskeminen:
Täten,
Harjoitus 5
Lentokone lähti kaupungista A ja lensi 50 km suoralla linjalla, kunnes laskeutui kaupunkiin B. Myöhemmin se lensi vielä 40 km, tällä kertaa suuntaan kohti kaupunkia D. Nämä kaksi reittiä ovat 90 ° kulmassa toisiinsa nähden. Epäedullisten sääolosuhteiden vuoksi ohjaaja sai kuitenkin lennonjohtotornien ilmoituksen, jonka mukaan hän ei voinut laskeutua kaupunkiin D ja että hänen tulisi palata kaupunkiin A.
U-käännöksen suorittamiseksi pisteestä C ohjaajan olisi käännettävä kuinka monta astetta oikealle?
Harkitse:
sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
ruskea 51 ° = 1,25
Oikea vastaus: Ohjaajan on käännettävä 129 astetta oikealle.
Analysoimalla kuvaa näemme, että polku muodostaa suorakulmion.
Soitetaan kulmaksi, jota etsimme W. Kulmat W ja Z ovat täydentäviä, toisin sanoen ne muodostavat matalan 180 ° kulman.
Siten W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (yhtälö 1)
Tehtävämme on nyt määrittää Z-kulma ja sitä varten aiomme käyttää sen tangenttia.
Meidän on kysyttävä itseltämme: Mikä on kulma, jonka tangentti on 1,25?
Ongelma antaa meille nämä tiedot, rusketus 51 ° = 1,25.
Tämä arvo löytyy myös trigonometrisestä taulukosta tai tieteellisestä laskimesta funktiota käyttämällä:
Korvaamalla Z: n arvo yhtälössä 1 meillä on:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Harjoitus 6
Yksivärisen valonsäteen kulkiessa väliaineesta toiseen kärsii poikkeama sitä kohti. Tämä muutos sen etenemisessä liittyy väliaineen taittumisindekseihin, kuten seuraava suhde osoittaa:
Snellin laki - Descartes
Missä i ja r ovat tulo- ja taittokulmat ja n1 ja n2 keskiarvojen 1 ja 2 taitekertoimet.
Kun lyödään ilman ja lasin välistä erotuspintaa, valonsäde muuttaa suuntaansa kuvan osoittamalla tavalla. Mikä on lasin taitekerroin?
Tiedot: Ilman taitekerroin on 1.
Oikea vastaus: Lasin taitekerroin on yhtä suuri kuin .
Meillä olevien arvojen korvaaminen:
Harjoitus 7
Vedä puinen tukki työpajaansa, lukkoseppä sitoi köyden tukkiin ja veti sen kymmenen jalkaa vaakasuoran pinnan yli. 40 N: n voima narun läpi teki 45 ° kulman kulkusuunnan kanssa. Laske käytetyn voiman työ.
Oikea vastaus: Suoritettu työ on noin 84,85 J.
Työ on skalaarinen määrä, joka saadaan voiman ja siirtymän tulona. Jos voimalla ei ole samaa suuntaa kuin siirtymällä, meidän on hajotettava tämä voima ja otettava huomioon vain komponentti tähän suuntaan.
Tässä tapauksessa meidän on kerrottava voiman suuruus kulman kosinilla.
Joten meillä on:
Harjoitus 8
Kahden vuoren välissä kahden kylän asukkaiden täytyi matkustaa vaikea tie ylös ja alas. Tilanteen ratkaisemiseksi päätettiin, että kylien A ja B välille rakennetaan vinosilta.
Kahden kylän välinen etäisyys olisi laskettava suoralla viivalla, jolle silta venytetään. Koska asukkaat tiesivät jo kaupunkien korkeuden ja nousukulmat, tämä etäisyys voitiin laskea.
Laske sillan pituus alla olevan kaavion perusteella ja tietäen, että kaupunkien korkeus oli 100 m.
Oikea vastaus: Sillan pituuden tulisi olla noin 157,73 m.
Sillan pituus on annettujen kulmien vieressä olevien sivujen summa. Kutsumalla korkeutta h, meillä on:
Laskelma 45 ° kulmalla
Laskelma 60 ° kulmalla
Sillan pituuden määrittämiseksi summataan saadut arvot.
Kysymys 1
Cefet - SP
Alla olevassa kolmiossa ABC CF = 20 cm ja BC = 60 cm. Merkitse AF- ja BE-segmenttien mittaukset.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Vastaus: b) 10, 20
AF: n määrittäminen
Huomaa, että AC = AF + CF, joten meidän on:
AF = AC - CF (yhtälö 1)
CF: n antaa ongelma, joka on yhtä suuri kuin 20 cm.
AC voidaan määrittää käyttämällä 30 ° sinistä.
BC tuottaa ongelma, joka on yhtä suuri kuin 60 cm.
Korvaamalla yhtälössä 1 meillä on:
BE: n määrittämiseksi
Ensimmäinen havainto:
Tarkistamme, että kolmion sisällä oleva luku on suorakulmio, johtuen kuvassa määritetyistä suorista kulmista.
Siksi niiden sivut ovat yhdensuuntaiset.
Toinen havainto:
BE-segmentti muodostaa suorakulmaisen kolmion, jonka kulma on 30 °, jossa: korkeus on yhtä suuri kuin juuri määritetty AF, ja BE on hypotenuusa.
Laskelman tekeminen:
Käytämme 30 ° sinia BE: n määrittämiseen
kysymys 2
EPCAR-MG
Lentokone nousee pisteestä B tasaisella 15 ° kallistuksella vaakatasoon. 2 km B: stä on 600 m korkean vuorijonon korkeimman pisteen D pystysuuntainen projektio C, kuten kuvassa esitetään.
Tiedot: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
On oikein sanoa, että:
a) Taso ei törmää sahaan ennen kuin se saavuttaa 540 metrin korkeuden.
b) Taso ja saha törmäävät 540 m: n korkeuteen.
c) Taso törmää D-sahaan.
d) Jos kone nousee 220 m ennen B: tä samalla kallistuksella, taso ei törmää sahaan.
Vastaus: b) Taso ja saha törmäävät 540 m: n korkeuteen.
Ensinnäkin on välttämätöntä käyttää samaa pituusmittausyksikön moninkertaista. Siksi menemme 2 km 2000 m: iin.
Seuraamalla samoja alkuolosuhteita voimme ennustaa korkeuden, jolla taso on pisteen C pystysuunnassa.
Käyttämällä 15 ° tangenttia ja määrittelemällä korkeus h: ksi, meillä on:
kysymys 3
ENEM 2018
Suoran pyöreän sylinterin koristamiseksi käytetään suorakulmaista läpinäkyvää paperia, johon diagonaali, joka muodostaa 30 ° alareunan kanssa, vedetään lihavoituna. Sylinterin pohjan säde on 6 / π cm, ja nauhaa kelattaessa saadaan kierteen muotoinen viiva, kuten kuvassa on esitetty.
Sylinterin korkeuden mittauksen arvo senttimetreinä on:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Vastaus: b) 24√3
Kuvaa tarkkailemalla huomataan, että sylinterin ympäri tehtiin 6 kierrosta. Koska se on suora sylinteri, pohjana on ympyrä missä tahansa sen korkeudessa.
Kolmion pohjan mitan laskemiseksi.
Ympyrän pituus voidaan saada kaavasta:
Missä r on säde e, yhtä suuri kuin ,meillä on:
Kuinka menee 6 kierrosta:
Voimme käyttää 30 ° rusketta korkeuden laskemiseen.
kysymys 4
ENEM 2017
Auringonvalonsäteet saavuttavat järven pinnan X-kulmassa pinnan kanssa, kuten kuvassa on esitetty.
Tietyissä olosuhteissa voidaan olettaa, että näiden säteiden valovoima järven pinnalla saadaan noin I (x) = k. sin (x), k on vakio ja olettaen, että X on välillä 0 ° - 90 °.
Kun x = 30º, valovoima pienenee prosenttiosuuteen sen maksimiarvosta?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Vastaus: B) 50%
Korvaamalla 30 ° siniarvo toiminnossa saadaan:
Kun k: n arvo on laskettu puoleen, intensiteetti on 50%.
Harjoittele lisää harjoituksia:
Trigonometrian harjoitukset
Laajenna tietosi:
Trigonometria suorassa kolmiossa
Metriset suhteet suorakulmion kolmiossa
Trigonometria