Pythagoraan lause: ratkaistut ja kommentoidut harjoitukset

Pythagorasin lause osoittaa, että suorakulmaisessa kolmiossa neliönmuotoinen hypotenuusimitta on yhtä suuri kuin jalkamittausten neliöiden summa.

Hyödynnä ratkaistuja ja kommentoituja harjoituksia vastaaksesi kaikkiin epäilyksiisi tästä tärkeästä sisällöstä.

Ehdotetut harjoitukset (resoluutiolla)

Kysymys 1

Carlos ja Ana lähtivät kotoa töihin samasta pisteestä, rakennuksen autotallista, jossa he asuvat. Yhden minuutin kuluttua kulkemalla kohtisuoraa polkua, he olivat 13 metrin päässä toisistaan.

Jos Carlosin auto teki 7 m enemmän kuin Anan tuona aikana, kuinka kaukana he olivat autotallista?

a) Carlos oli 10 m päässä autotallista ja Ana oli 5 m.
b) Carlos oli 14 m päässä autotallista ja Ana oli 7 m.
c) Carlos oli 12 m autotallista ja Ana 5 m.
d) Carlos oli 13 m päässä autotallista ja Ana oli 6 m.

Katso Vastaus

Oikea vastaus: c) Carlos oli 12 m autotallista ja Ana 5 m päässä.

Tässä kysymyksessä muodostetun suorakulmion sivut ovat:

• hypotenuus: 13 m
• suurempi jalka: 7 + x
• lyhyempi lahke: x

Soveltamalla Pythagorasin lauseen arvoja meillä on:

Nyt käytämme Bhaskaran kaavaa x: n arvon löytämiseen.

Koska se on pituusmitta, meidän on käytettävä positiivista arvoa. Siksi tässä kysymyksessä muodostetun suorakulmion sivut ovat:

• hypotenuus: 13 m
• pidempi jalka: 7 + 5 = 12 m
• lyhyempi jalka: x = 5 m

Ana oli siis 5 metrin päässä autotallista ja Carlos 12 metrin päässä.

kysymys 2

Carla etsiessään kissanpentua näki hänet puun päällä. Sitten hän pyysi äidiltään apua ja he asettivat tikkaat puun viereen auttaakseen kissaa alas.

Kuinka kauan tikkaita käytettiin kissan pelastamiseen, kun tiedät, että kissa on 8 metrin päässä maasta ja tikkaiden pohja on 6 metrin päässä puusta?

a) 8 metriä.
b) 10 metriä.
c) 12 metriä.
d) 14 metriä.

Katso Vastaus

Oikea vastaus: b) 10 metriä.

Huomaa, että kissan korkeus ja tikkaiden pohjan etäisyys on suorakulmainen eli 90 asteen kulma. Kun tikkaat ovat suoraa kulmaa vastapäätä, niiden pituus vastaa suorakulmion hypotenuusia.

Soveltamalla Pythagorasin lauseessa annettuja arvoja löydämme hypotenuusin arvon.

Siksi tikkaat ovat 10 metriä pitkiä.

kysymys 3

Mikä esittää suorakulmion arvot alla olevien vaihtoehtojen mukaisesti?

a) 14 cm, 18 cm ja 24 cm
b) 21 cm, 28 cm ja 32 cm
c) 13 cm, 14 cm ja 17 cm
d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm

Katso Vastaus

Oikea vastaus: d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm.

Jotta voimme selvittää, muodostavatko esitetyt mitat suorakulmion, meidän on sovellettava Pythagoraan lause jokaiseen vaihtoehtoon.

a) 14 cm, 18 cm ja 24 cm

b) 21 cm, 28 cm ja 32 cm

c) 13 cm, 14 cm ja 17 cm

d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm

Siksi mitat 12 cm, 16 cm ja 20 cm vastaavat suorakulmion sivuja, koska hypotenuusan neliö, pisin sivu, on yhtä suuri kuin jalkojen neliön summa.

kysymys 4

Huomaa seuraavat geometriset luvut, joiden toinen sivu sijaitsee suorakulmion 3–4 m ja 4 m: n hypotenuusissa.

Etsi tasasivuisen kolmion BCD korkeus (h) ja neliön BCFG diagonaaliarvo (d).

a) h = 4,33 m ja d = 7,07 m
b) h = 4,72 m ja d = 8,20 m
c) h = 4,45 m ja d = 7,61 m
d) h = 4,99 m ja d = 8,53 m

Katso Vastaus

Oikea vastaus: a) h = 4,33 m ja d = 7,07 m.

Koska kolmio on tasasivuinen, se tarkoittaa, että sen kolmella puolella on sama mitta. Piirtämällä viivan, joka vastaa kolmion korkeutta, jaamme sen kahteen suorakulmioon.

Sama pätee neliöön. Kun piirrämme sen lävistäjäviivan, voimme nähdä kaksi suorakulmaista kolmiota.

Sovellettaessa Pythagorasin lauseen lauseen tietoja löydämme arvot seuraavasti:

1. Kolmion (suorakulmaisen jalan) korkeuden laskeminen:

Saavumme sitten kaavan korkeuden laskemiseksi. Korvaa nyt vain L: n arvo ja laske se.

2. Neliön diagonaalin laskeminen (suorakulmion hypotenuusi):

Siksi tasasivuisen kolmion BCD korkeus on 4,33 ja neliön BCFG diagonaaliarvo on 7,07.

Katso myös: Pythagoraan lause

Valintakokeet on ratkaistu

kysymys 5

(Cefet / MG - 2016) Leija, jonka kuvio on esitetty alla, rakennettiin ABCD: n nelikulmaiseen muotoon, joka oli ja . tikku leijan leikkaa tangon sen keskipisteessä E muodostaen suorakulman. Tämän leijan rakentamisessa, käytetyt ovat vastaavasti 25 cm ja 20 cm, ja mitta on on yhtä suuri - .

Näissä olosuhteissa , cm, on yhtä suuri kuin

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: c) 55.

Kysymyslukua tarkkailemalla näemme, että DE-segmentti, jonka haluamme löytää, on sama kuin BD-segmentti vähentämällä BE-segmentti.

Joten, koska tiedämme, että segmentti BE on yhtä suuri kuin 20 cm, meidän on löydettävä segmentin BD arvo.

Huomaa, että ongelma antaa meille seuraavat tiedot:

Joten BD-mittarin löytämiseksi meidän on tiedettävä segmentin AC arvo.

Koska piste E jakaa segmentin kahteen yhtä suureen osaan (keskipiste), niin . Siksi ensimmäinen vaihe on löytää CE-segmentin mitta.

CE-mittauksen löytämiseksi havaitsimme, että kolmio BCE on suorakulmio, että BC on hypotenuus ja BE ja CE ovat jalat, kuten alla olevassa kuvassa näkyy:

Sovellamme sitten Pythagorasin lauseen etsimään jalan mitan.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

Kauluksen löytämiseksi olisimme voineet myös havaita, että kolmio on Pythagorean, ts. Sen sivujen mitat ovat useita kolmion 3, 4, 5 mittauksia.

Kun kerrotaan 4 5: llä, on siis kauluksen arvo (20) ja jos kerrotaan 5: llä 5, meillä on hypotenuus (25). Siksi toinen jalka voi olla vain 15 (5. 3).

Nyt kun olemme löytäneet EY-arvon, voimme löytää muut toimenpiteet:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Siksi toimenpide on yhtä suuri kuin 55 cm.

Katso myös: Pythagoras

kysymys 6

(IFRS - 2017) Tarkastellaan tasasivuista kolmiota, jonka puoli on 5√3 ܿ݉. Mikä on tämän kolmion korkeus ja pinta-ala, vastaavasti?

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: e) 7,5 cm ja 75√3 / 4 cm²

Piirretään ensin tasasivuinen kolmio ja piirretään korkeus alla olevan kuvan mukaisesti:

Huomaa, että korkeus jakaa pohjan kahteen saman mitan osaan, koska kolmio on tasasivuinen. Huomaa myös, että kuvion kolmio ACD on suorakulmainen kolmio.

Siten korkeusmittauksen löytämiseksi käytämme Pythagoraan lauseen:

Kun tiedämme korkeusmittauksen, voimme löytää alueen kaavan avulla:

kysymys 7

(IFRS - 2016) Alla olevassa kuvassa x: n ja y: n arvo on

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: a) 4√2 ja √97.

X: n arvon löytämiseksi sovitetaan Pythagorasin lause oikeaan kolmioon, jonka sivut ovat 4 cm.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Y-arvon löytämiseksi käytämme myös Pythagoraksen lausetta, koska nyt yhden jalan pituus on 4 cm ja toisen 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Siksi x: n ja y: n arvo ovat vastaavasti 4√2 ja √97.

kysymys 8

(Apprentice Sailor - 2017) Katso alla olevaa kuvaa.

Yllä olevassa kuvassa on tasakylkinen kolmio ACD, jossa segmentin AB mitat ovat 3 cm, epätasaisen puolen AD mitat ovat 10√2 cm ja segmentit AC ja CD ovat kohtisuorassa. Siksi on oikein sanoa, että BD-segmentti mittaa:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: d) √149 cm

Ottaen huomioon ongelmassa esitetyt tiedot rakennamme alla olevan kuvan:

Kuvan mukaan havaitsemme, että x: n arvon löytämiseksi on löydettävä sen sivun mitta, jota kutsumme a: ksi.

Koska kolmio ACD on suorakulmio, käytämme Pythagoraan lauseen etsimään jalan a arvon.

Nyt kun tiedämme a: n arvon, voimme löytää x: n arvon ottamalla huomioon suorakulmion BCD.

Huomaa, että jalka BC on yhtä suuri kuin mitattu jalka miinus 3 cm eli 10-3 = 7 cm. Soveltamalla Pythagorasin lausea tähän kolmioon, meillä on:

Siksi on oikein sanoa, että BD-segmentin pituus on √149 cm.

kysymys 9

(IFRJ - 2013) Liittovaltion instituutin Arrozalin kampuksen urheilupiha on suorakulmainen, 100 metriä pitkä ja 50 metriä leveä, jota tässä kuvassa edustaa ABCD-suorakulmio.

Alberto ja Bruno ovat kaksi opiskelijaa, jotka harrastavat urheilua sisäpihalla. Alberto kävelee pisteestä A pisteeseen C suorakulmion diagonaalia pitkin ja palaa aloituspisteeseen samaa polkua pitkin. Bruno alkaa pisteestä B, kiertää pihan kokonaan, kävellen sivulinjoja pitkin, ja palaa lähtöpisteeseen. Kun otetaan huomioon √5 = 2,24, todetaan, että Bruno käveli enemmän kuin Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: c) 76 m.

Suorakulmion diagonaali jakaa sen kahteen suorakulmioon, hypotenuusan ollessa lävistäjä ja sivut yhtä suuret kuin suorakulmion sivuilla.

Lasketaan siis diagonaalimitta soveltamalla Pythagoraan lause:

Alberto meni ja palasi takaisin, joten hän piti 224 metriä.

Bruno suoritti suorakulmion kehän verran etäisyyden, toisin sanoen:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Siksi Bruno käveli 76 m pidempään kuin Alberto (300 - 112 = 76 m).

kysymys 10

(Enem - 2017) Lasten juhlapöydän sisustamiseen kokki käyttää pallomaista melonia, jonka halkaisija on 10 cm ja joka tukee eri makeisten vartaassa. Se poistaa melonista pallomaisen navan, kuten kuvassa on esitetty, ja tämän tuen vakauden varmistamiseksi: jolloin melonin on vaikea liikkua pöydällä, päällikkö leikkaa niin, että pyöreän leikkauksen säde r on karvainen. miinus 3 cm. Toisaalta kokki haluaa saada suurimman mahdollisen alueen alueella, jossa makeiset kiinnitetään.

Kaikkien tavoitteiden saavuttamiseksi pomon on leikattava melonin korkki h: n korkeudella senttimetreinä, yhtä suuri kuin

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: c) 1

Tarkastelemalla kysymyksessä esitettyä kuvaa havaitsimme, että korkeus h voidaan löytää vähentämällä segmentin OA mittaa pallon säteen mitasta (R).

Pallon säde (R) on yhtä suuri kuin puolet sen halkaisijasta, joka tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin 5 cm (10: 2 = 5).

Joten meidän on löydettävä OA-segmentin arvo. Tätä varten tarkastellaan alla olevassa kuvassa esitettyä kolmion OAB ja sovelletaan Pythagoraan lause.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Voimme myös löytää x: n arvon suoraan huomaten, että se on Pythagorean kolmiot 3,4 ja 5.

Joten h: n arvo on yhtä suuri kuin:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Siksi kokin tulisi leikata melonin korkki 1 cm: n korkeudelle.

kysymys 11

(Enem - 2016 - 2. hakemus) Boccia on urheilukenttä, jota pelataan kentillä, jotka ovat tasaisia ​​ja tasaisia ​​maastossa, joita rajoittavat kehäpuiset alustat. Tämän urheilulajin tavoitteena on heittää petankkia, jotka ovat synteettisestä materiaalista valmistettuja palloja aseta ne mahdollisimman lähelle bolimia, joka on aikaisemmin pienempi, mieluiten teräksestä valmistettu pallo käynnistettiin. Kuva 1 kuvaa bocce-palloa ja bolimia, joita pelattiin kentällä. Oletetaan, että pelaaja on heittänyt 5 cm: n säteellä olevan pallon, joka on nojautunut bolimia vasten, 2 cm: n säteellä kuvan 2 mukaisesti.

Tarkastellaan pistettä C pallon keskikohdaksi ja pistettä O pallon keskikohdaksi. Tiedetään, että A ja B ovat pisteet, joissa bocce-pallo ja vastaavasti bollin koskettavat kentän maata ja että A: n ja B: n välinen etäisyys on d. Mikä on d: n ja bolimin säteen välinen suhde näissä olosuhteissa?

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: e) √10

Pisteiden A ja B välisen etäisyyden d arvon laskemiseksi rakennetaan kuvio, joka yhdistää kahden pallon keskipisteet alla olevan kuvan mukaisesti:

Huomaa, että sininen pisteviiva on muotoinen trapetsi. Jaetaan tämä trapetsi alla olevan kuvan mukaisesti:

Jakamalla trapetsi saadaan suorakulmio ja suorakulmio. Kolmion hypotenuus on yhtä suuri kuin bocce-pallon säteen summa bolimin säteellä, ts. 5 + 2 = 7 cm.

Yhden jalan mitta on yhtä suuri kuin d ja toisen jalan mitta on yhtä suuri kuin segmentin CA mittaus, joka on bocce-pallon säde, josta on vähennetty bolimin säde (5 - 2 = 3) .

Tällä tavoin löydämme d: n mitan soveltamalla Pythagoraan lauseen tähän kolmioon:

7² = 3² -²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Siksi etäisyyden d ja bolimin välinen suhde saadaan seuraavasti:.

kysymys 12

(Enem - 2014) Asuinpaikka kuluttaa päivittäin 20160 Wh. Tässä asunnossa on 100 aurinkokennoa suorakulmainen (laitteet, jotka pystyvät muuttamaan auringonvalon sähköenergiaksi), kooltaan 6 cm x 8 cm. Kukin näistä soluista tuottaa koko päivän ajan 24 Wh / senttimetri lävistäjää. Tämän talon omistaja haluaa tuottaa päivässä täsmälleen saman määrän energiaa kuin hänen talonsa kuluttaa. Mitä tämän omistajan tulisi tehdä hänen tavoitteensa saavuttamiseksi?

a) Poista 16 solua.
b) Poista 40 solua.
c) Lisää 5 solua.
d) Lisää 20 solua.
e) Lisää 40 solua.

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: a) Poista 16 solua.

Ensin sinun on selvitettävä, mikä on kunkin solun energiantuotto. Tätä varten meidän on löydettävä suorakulmion diagonaalin mitta.

Lävistäjä on yhtä suuri kuin kolmion hypotenuusi, jonka jalat ovat 8 cm ja 6 cm. Laskemme sitten diagonaalin soveltamalla Pythagoraan lauseen.

Havaitsemme kuitenkin, että kyseinen kolmio on Pythagorean, joka on kolmion 3,4 ja 5 moninkertainen.

Tällä tavalla hypotenuusin mitta on yhtä suuri kuin 10 cm, kun Pythagorean kolmion 3,4 ja 5 sivut kerrotaan 2: lla.

Nyt kun tiedämme diagonaalimittauksen, voimme laskea 100 solun tuottaman energian, ts.

E = 24. 10. 100 = 24000 Wh

Koska kulutettu energia on yhtä suuri kuin 20 160 Wh, meidän on vähennettävä solujen määrää. Tämän numeron löytämiseksi teemme:

24000 - 20160 = 3840 Wh

Jakamalla tämä arvo solun tuottamalla energialla löydämme lukua, jota tulisi vähentää, eli:

3840: 240 = 16 solua

Siksi omistajan on toimittava hänen tavoitteensa saavuttamiseksi 16 solun poistamiseksi.

Jos haluat lisätietoja, katso myös: Trigonometrian harjoitukset