Tilastot ovat matematiikan alue, joka tutkii tutkimustietojen keräämistä, tallentamista, organisointia ja analysointia.
Tätä aihetta syytetään monissa kilpailuissa. Joten hyödynnä kommentoituja ja ratkaistuja harjoituksia ratkaistaksesi kaikki epäilyt.
Kommentoidut ja ratkaistut ongelmat
1) Enem - 2017
Yliopistokurssin opiskelijoiden suoritusten arviointi perustuu aineissa saatujen arvosanojen painotettuun keskiarvoon vastaavan opintopistemäärän mukaan, kuten taulukossa esitetään:
Mitä parempi arvio opiskelijasta tietyllä lukukaudella on, sitä suurempi hänen prioriteettinsa on seuraavien lukukausien aiheiden valinnassa.
Jotkut opiskelijat tietävät, että jos hän saa ”hyvän” tai “erinomaisen” arvion, hän voi ilmoittautua haluamiinsa aineisiin. Hän on jo suorittanut testit 4 viidestä koehenkilöstä, johon hän on ilmoittautunut, mutta hän ei ole vielä suorittanut kokeen I aihetta, kuten taulukossa on esitetty.
Jotta hän saavuttaisi tavoitteensa, vähimmäisarvosana, jonka hänen on saavutettava aineessa I, on
a) 7,00.
b) 7,38.
c) 7,50.
d) 8,25.
e) 9.00.
Painotetun keskiarvon laskemiseksi kerrotaan jokainen palkkaluokka vastaavalla opintopisteiden määrällä, lisätään sitten kaikki löydetyt arvot ja lopuksi jaetaan opintopisteiden kokonaismäärällä.
Ensimmäisen taulukon avulla tunnistamme, että opiskelijan on saavutettava vähintään keskiarvo, joka on yhtä suuri kuin 7 saadakseen "hyvän" arvion. Siksi painotetun keskiarvon on oltava yhtä suuri kuin tämä arvo.
Kutsuen puuttuvan x: n nuotin ratkaistaan seuraava yhtälö:
Vaihtoehto: d) 8.25
2) Enem - 2017
Kolme opiskelijaa, X, Y ja Z, ilmoittautuu englannin kurssille. Arvioidakseen näitä opiskelijoita opettaja päätti suorittaa viisi testiä. Kurssin hyväksymiseksi opiskelijan on oltava viiden testin arvosanojen aritmeettinen keskiarvo vähintään 6. Taulukossa näkyvät muistiinpanot, jotka kukin opiskelija teki kussakin testissä.
Taulukon tietojen ja annettujen tietojen perusteella sinut hylätään
a) vain opiskelija Y.
b) vain opiskelija Z.
c) vain opiskelijat X ja Y.
d) vain opiskelijat X ja Z.
e) opiskelijat X, Y ja Z.
Aritmeettinen keskiarvo lasketaan lisäämällä kaikki arvot ja jakamalla arvojen lukumäärällä. Lasketaan tässä tapauksessa kunkin opiskelijan arvosanat ja jaetaan viidellä.
Kun opiskelija läpäisee arvosanan, joka on vähintään 6, opiskelijat X ja Y läpäisevät ja opiskelija Z epäonnistuu.
Vaihtoehto: b) vain opiskelija Z.
3) Enem - 2017
Kaaviossa esitetään työttömyysaste (prosentteina) maaliskuun 2008 ja huhtikuun 2009 väliseltä ajalta Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo ja Porto pääkaupunkiseuduilla havaitut tiedot Onnellinen.
Tämän työttömyysasteen mediaani maaliskuusta 2008 huhtikuuhun 2009 oli
a) 8,1%
b) 8,0%
c) 7,9%
d) 7,7%
e) 7,6%
Mediaaniarvon löytämiseksi meidän on aloitettava asettamalla kaikki arvot järjestykseen. Tunnistamme sitten sijainnin, joka jakaa alueen kahtia samalla arvojen määrällä.
Kun arvojen määrä on pariton, mediaani on luku, joka on täsmälleen alueen keskellä. Kun se on tasainen, mediaani on yhtä suuri kuin kahden keskeisen arvon aritmeettinen keskiarvo.
Kaavion avulla tunnistamme, että työttömyysasteeseen liittyy 14 arvoa. Koska 14 on parillinen luku, mediaani on yhtä suuri kuin seitsemännen ja kahdeksannen arvon aritmeettinen keskiarvo.
Tällä tavalla voimme järjestää numerot järjestykseen, kunnes saavutamme nämä sijainnit, kuten alla on esitetty:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1
Laskemalla keskiarvo välillä 7,9 - 8,1, meillä on:
Vaihtoehto: b) 8,0%
4) Fuvest - 2016
Serra da Mantiqueiran kahden kaupungin välillä kulkee ajoneuvo, joka kattaa alueen ensimmäisen kolmanneksen reitti keskinopeudella 60 km / h, seuraava kolmas kolmas nopeudella 40 km / h ja loppuosa reitillä 20 km / h. Arvo, joka parhaiten arvioi ajoneuvon keskimääräisen nopeuden tällä matkalla, km / h, on
a) 32,5
b) 35
c) 37,5
d) 40
e) 42,5
Meidän on löydettävä keskinopeusarvo eikä nopeuksien keskiarvo, tässä tapauksessa emme voi laskea aritmeettista keskiarvoa, mutta harmonista keskiarvoa.
Käytämme harmonista keskiarvoa, kun mukana olevat määrät ovat kääntäen verrannollisia, kuten nopeuden ja ajan tapauksessa.
Harmoninen keskiarvo on arvojen käänteisten aritmeettisen keskiarvon käänteinen, joten meillä on:
Siksi vastausten lähin arvo on 32,5 km / h
Vaihtoehto: a) 32.5
5) Enem - 2015
Olympialaisten 100 metrin vapaauinti-uinnin finaalia varten urheilijat saivat omilla kaistoillaan seuraavat ajat:
Taulukossa esitetty mediaaniaika on
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
d) 20,85.
e) 20,90.
Laaditaan ensin kaikki arvot, mukaan lukien toistuvat luvut, nousevaan järjestykseen:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
Huomaa, että arvoja on parillinen määrä (8 kertaa), joten mediaani on aritmeettinen keskiarvo 4. ja 5. sijan arvon välillä:
Vaihtoehto: d) 20,85.
6) Enem - 2014
Ehdokkaat K, L, M, N ja P kilpailevat yhden työpaikan avaamisesta yrityksessä ja ovat suorittaneet testejä portugaliksi, matematiikkaan, lakiin ja tietotekniikkaan. Taulukossa näkyvät viiden ehdokkaan saamat pisteet.
Valintailmoituksen mukaan menestyvä ehdokas on se, jolle hänen saamiensa arvosanojen mediaani on korkein. Onnistunut ehdokas on
a) K.
b) L.
c)
d) Ei.
e) Q
Meidän on löydettävä kunkin ehdokkaan mediaani, jotta voidaan tunnistaa korkein. Tehdään tämä asettamalla jokaisen arvosanat järjestykseen ja etsimällä mediaani.
Ehdokas K:
Ehdokas L:
Ehdokas M:
Ehdokas N:
Ehdokas P:
Vaihtoehto: d) N
Katso myös Matematiikka Enemissä ja Matemaattiset kaavat
7) Fuvest - 2015
Tutki kaaviota.
Kaavion tietojen perusteella voidaan todeta, että ikä on oikein
a) vuonna 2009 syntyneiden lasten äitien mediaani oli yli 27 vuotta.
b) vuonna 2009 syntyneiden lasten äitien mediaani oli alle 23 vuotta.
c) vuonna 1999 syntyneiden lasten äitien mediaani oli yli 25 vuotta.
d) vuonna 2004 syntyneiden lasten äitien keskiarvo oli yli 22 vuotta.
e) vuonna 1999 syntyneiden lasten äitien keskiarvo oli alle 21 vuotta.
Aloitetaan tunnistamalla, missä alueella vuonna 2009 syntyneiden lasten äitien mediaani sijaitsee (vaaleanharmaat palkit).
Tätä varten katsotaan, että ikien mediaani sijaitsee siinä pisteessä, jossa taajuus kasvaa jopa 50% (alueen keskiosa).
Tällä tavoin laskemme kertyneet taajuudet. Alla olevassa taulukossa ilmoitetaan taajuudet ja kumulatiiviset taajuudet kullekin aikavälille:
| ikäryhmät | Taajuus | Kumulatiivinen taajuus |
| alle 15-vuotiaat | 0,8 | 0,8 |
| 15-19-vuotiaat | 18,2 | 19,0 |
| 20--24-vuotiaat | 28,3 | 47,3 |
| 25--29-vuotiaat | 25,2 | 72,5 |
| 30-34-vuotiaat | 16,8 | 89,3 |
| 35-39-vuotiaat | 8,0 | 97,3 |
| 40 vuotta tai enemmän | 2,3 | 99,6 |
| huomiotta ikä | 0,4 | 100 |
Huomaa, että kumulatiivinen läsnäolo nousee 50 prosenttiin 25–29 vuoden välillä. Siksi kirjaimet a ja b ovat väärin, koska ne osoittavat arvoja tämän alueen ulkopuolella.
Käytämme samaa menettelyä löytääksemme vuoden 1999 mediaanin. Tiedot ovat alla olevassa taulukossa:
| ikäryhmät | Taajuus | Kumulatiivinen taajuus |
| alle 15-vuotiaat | 0,7 | 0,7 |
| 15-19-vuotiaat | 20,8 | 21,5 |
| 20--24-vuotiaat | 30,8 | 52,3 |
| 25--29-vuotiaat | 23,3 | 75,6 |
| 30-34-vuotiaat | 14,4 | 90,0 |
| 35-39-vuotiaat | 6,7 | 96,7 |
| 40 vuotta tai enemmän | 1,9 | 98,6 |
| huomiotta ikä | 1,4 | 100 |
Tässä tilanteessa mediaani esiintyy välillä 20-24 vuotta. Siksi myös c-kirjain on väärä, koska se tarjoaa vaihtoehdon, joka ei kuulu alueeseen.
Lasketaan nyt keskiarvo. Tämä laskenta tehdään lisäämällä taajuuden tulot intervallin keskimääräisellä iällä ja jakamalla löydetty arvo taajuuksien summalla.
Laskennassa jätetään huomiotta arvot, jotka liittyvät väleihin "alle 15-vuotiaat", "vähintään 40-vuotiaat" ja "huomiotta jätetty ikä".
Siten, kun otetaan huomioon kaavion arvot vuodelle 2004, meillä on seuraava keskiarvo:
Vaikka olisimme ottaneet huomioon ääriarvot, keskiarvo olisi yli 22 vuotta. Joten väite on totta.
Vain vahvistamiseksi lasketaan vuoden 1999 keskiarvo samalla menettelyllä kuin aiemmin:
Koska löydetty arvo on vähintään 21 vuotta, myös tämä vaihtoehto on väärä.
Vaihtoehto: d) vuonna 2004 syntyneiden lasten äitien keskiarvo oli yli 22 vuotta.
8) UPE - 2014
Urheilukilpailussa viisi urheilijaa kiistää kaukolipukilpailun kolme parasta sijaa. Luokittelu tapahtuu laskevassa järjestyksessä heidän saamiensa pisteiden aritmeettisen keskiarvon kanssa kolmen peräkkäisen hyppyn jälkeen testissä. Tasapuolisissa tilanteissa hyväksytään varianssiarvon nouseva järjestys. Jokaisen urheilijan pisteet on esitetty alla olevassa taulukossa:
Esitettyjen tietojen perusteella urheilijat käyttivät tämän kilpailun ensimmäisen, toisen ja kolmannen sijan
a) A; Ç; JA
b) B; D; JA
c) JA; D; B
d) B; D; Ç
ja; B; D
Aloitetaan laskemalla kunkin urheilijan aritmeettinen keskiarvo:
Koska kaikki ovat sidoksissa, laskemme varianssin:
Koska luokitus tehdään laskevassa varianssijärjestyksessä, ykköseksi tulee urheilija A, jota seuraa urheilija C ja E.
Vaihtoehto: a) A; Ç; JA
Hanki lisää tietoa sisällöstä:
- Keskihajonta
- Varianssi ja keskihajonta
- Todennäköisyysharjoitukset