Totuustaulukko tai totuustaulukko on matemaattinen työkalu, jota käytetään laajasti loogisen päättelyn alalla. Sen tavoitteena on tarkistaa yhdistetyn lauseen (kahden tai useamman yksinkertaisen lauseen muodostama argumentti) looginen pätevyys.
Esimerkkejä yhdistetyistä ehdotuksista:
- John on pitkä ja Mary on lyhyt.
- Peter on pitkä tai Joana on vaalea.
- jos Peter on pitkä, sitten Joan on punapää.
Kukin yllä olevista yhdistetyistä ehdotuksista muodostuu kahdesta yksinkertaisesta ehdotuksesta, jotka on liitetty rohkeasti liitettyinä. Jokainen yksinkertainen ehdotus voi olla tosi tai väärä, ja tämä tarkoittaa suoraan yhdistelmäehdotuksen loogista arvoa. Jos otamme lauseen "John on pitkä ja Mary on lyhyt”, Tämän lausunnon mahdolliset arviot ovat:
- Jos John on pitkä ja Mary on lyhyt, lause "John on pitkä ja Mary on lyhyt" on TOSI.
- Jos John on pitkä ja Mary ei ole lyhyt, lause "John on pitkä ja Mary on lyhyt" on EPÄTOSI.
- Jos John ei ole pitkä ja Mary on lyhyt, lause "John on pitkä ja Mary on lyhyt" on EPÄTOSI.
- Jos John ei ole pitkä ja Mary ei ole lyhyt, lause "John on pitkä ja Mary on lyhyt" on EPÄTOSI.
Totuustaulukossa hahmotellaan tämä sama päättely (katso aihe Yhdistelmä alla) suoremmin. Myös totuustaulukon sääntöjä voidaan soveltaa. lauseessa olevien ehdotusten lukumäärästä riippumatta.
Kuinka se toimii?
Muuta ensin kysymyksen ehdotukset logiikassa käytetyiksi symboleiksi. Luettelo yleisesti käytetyistä symboleista on:
| Symboli | Looginen toiminta | Tarkoitus | Esimerkki |
|---|---|---|---|
| P | . | Ehdotus 1 | p = John on pitkä. |
| mitä | . | Ehdotus 2 | q = Mary on lyhyt. |
| ~ | Kieltäminen | ei | Jos John on pitkä, "~ s" se on väärennös. |
| ^ | Yhdistelmä | ja | P^mitä = John on pitkä ja Mary lyhyt. |
| v | Disjunktio | tai | Pvq = John on pitkä tai Mary on lyhyt. |
| → | Ehdollinen | jos sitten | P→mitä = Jos John on pitkä, Mary on lyhyt. |
| ↔ | kaksikonditsionaalinen | jos ja vain jos | P↔q = John on pitkä vain ja vain, jos Mary on lyhyt. |
Sitten kootaan taulukko, jossa on kaikki yhdistetyn ehdotuksen arvostusmahdollisuudet, korvaamalla lauseet symboleilla. On syytä selvittää, että tapauksissa, joissa ehdotuksia on enemmän kuin kaksi, ne voidaan symboloida kirjaimilla r, s, ja niin edelleen.
Lopuksi sovelletaan esitetyn liittimen määrittelemää loogista toimintaa. Kuten yllä on lueteltu, nämä toiminnot voivat olla: negaatio, konjunktio, disjunktio, ehdollinen ja kaksisehtoinen.
Kieltäminen
Kieltämistä symboloi ~. Negationin looginen toiminta on yksinkertaisin eikä usein vaadi totuustaulukon käyttöä. Samaa esimerkkiä noudattaen, jos John on pitkä (p) sanomalla, että John ei ole pitkä (~ p), on EPÄTOSI, ja päinvastoin.
Yhdistelmä
Yhdistelmää symboloi ^. Esimerkki "John on pitkä ja Mary on lyhyt" symboloi "s^q "ja totuustaulukko on:
Yhdistelmä ehdottaa ajatusta kasautumisesta, joten jos jokin yksinkertaisista lauseista on väärä, yhdistetyn ehdotuksen on mahdotonta olla totta.
Johtopäätös: sidekalvoyhdistelmäehdotukset (sisältävät sidoksen ja) on totta vain, kun kaikki sen elementit ovat totta.
Esimerkki:
- Paulo, Renato ja Túlio ovat ystävällisiä ja Carolina on hauska. - Jos Paulo, Renato tai Túlio eivät ole ystävällisiä tai Carolina ei ole hauska, ehdotus on EPÄTOSI. Se on välttämätöntä kaikki tiedot pitävät paikkansa, jotta yhdistetty ehdotus olisi TOSI.
Disjunktio
Disjunktiota symboloi symboli v. Liitännän vaihtaminen yllä olevasta esimerkistä kohtaan tai meillä on "John on pitkä tai Mary on lyhyt". Tällöin ilmausta symboloi "svq "ja totuustaulukko on:
Disjunktio tarkoittaa ajatusta vuorottelusta, joten riittää, että yksi yksinkertaisista lauseista pitää paikkansa myös yhdistetyn ollessa totta.
Johtopäätös: disjunktiiviset yhdistelmäehdotukset (jotka sisältävät sidoksen tai) on väärä vain, kun kaikki sen elementit ovat väärät.
Esimerkki:
- Äitini, isäni tai setäni antaa minulle lahjan. - Jotta väite olisi TOSI, riittää, että vain yksi äidistä, isästä tai setästä antaa lahjan. Ehdotus on EPÄTOSI, ellei kukaan heistä anna sitä.
Ehdollinen
Ehdollista symboloi →. Se ilmaistaan liitoksilla jos ja sitten, jotka yhdistävät yksinkertaiset ehdotukset syy-yhteydessä. Esimerkki "Jos Paulo on kotoisin Rio de Janeirosta, hän on brasilialainen", tulee "s."→q "ja totuustaulukko on:
Ehdollisilla on ennakkotapaus ja siitä seuraava, erotettu liitoksella sitten. Ehdollisten analyysissä on arvioitava, mitkä tapaukset ehdotus se voi olla mahdollista, harkitaan implisiittisuhteen ennakkotapahtuman ja sen seurauksen välillä.
Johtopäätös: Ehdolliset yhdistelmäehdotukset (sisältävät liitososia jos ja sitten) on väärä vain, jos ensimmäinen ehdotus on totta ja toinen väärä.
Esimerkki:
- Jos Paulo on Riosta, hän on brasilialainen. - Jotta tätä ehdotusta voidaan pitää TOSINa, on arvioitava tapaukset, joissa se on MAHDOLLISTA. Yllä olevan totuustaulukon mukaan meillä on:
- Paulo on kotoisin Riosta / Paulo on brasilialainen = MAHDOLLINEN
- Paulo on kotoisin Rio de Janeirosta / Paulo ei ole brasilialainen = MAHDOTTOMASTI
- Paulo ei ole Riosta / Paulo on brasilialainen = MAHDOLLINEN
- Paulo ei ole karioka / Paulo ei ole brasilialainen = MAHDOLLINEN
kaksikonditsionaalinen
Kaksikondensaattoria symboloi ↔. Se luetaan liitäntöjen kautta jos ja vain jos, jotka yhdistävät yksinkertaiset ehdotukset vastaavuussuhteessa. Esimerkki "John on onnellinen vain ja vain, jos Mary hymyilee". tulee "s↔q "ja totuustaulukko on:
Biconditionals ehdottaa ajatusta keskinäisestä riippuvuudesta. Kuten nimestä käy ilmi, kaksiseuraiset koostuvat kahdesta ehdollisesta: yksi, joka alkaa P varten mitä (P→q) ja toinen vastakkaiseen suuntaan (q→P).
Johtopäätös: kaksisehtoiset yhdistelmäehdotukset (sisältävät liitosaineita jos ja vain jos) on totta vain, kun kaikki ehdotukset ovat totta tai kaikki väitteet ovat vääriä.
Esimerkki:
- João on onnellinen vain ja vain, jos Maria hymyilee. - Tarkoittaa sanoa, että:
- Jos John on onnellinen, Mary hymyilee ja jos Mary hymyilee, John on onnellinen = TODELLINEN
- Jos John ei ole onnellinen, Mary ei hymyile ja jos Mary ei hymyile, John ei ole onnellinen = TODELLINEN
- Jos João on onnellinen, Maria ei hymyile = EPÄTOSI
- Jos João ei ole onnellinen, Maria hymyilee = EPÄTOSI
Yleiskatsaus
Totuuspöytätieteen tutkijoiden on tavallista muistaa jokaisen loogisen operaation johtopäätökset. Ajan säästämiseksi ongelmien ratkaisemisessa pidä aina mielessä, että:
- Yhdistävät ehdotukset: Ne ovat totta vain, kun kaikki elementit ovat totta.
- Eroavat ehdotukset: Se on väärä vain, kun kaikki elementit ovat väärät.
- Ehdolliset ehdotukset: Ne ovat väärät vasta, kun ensimmäinen ehdotus on totta ja toinen väärä.
- Kaksisuuntaiset ehdotukset: Se on totta vain, kun kaikki elementit ovat totta tai kaikki elementit ovat vääriä.