1500-luvun puoliväliin saakka yhtälöt kuten x2 - 6x + 10 = 0 pidettiin yksinkertaisesti "ei ratkaisuna". Tämä johtui siitä, että Bhaskaran kaavan mukaan tämän yhtälön ratkaisemisessa löydetty tulos olisi:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Ongelma löydettiin luvusta √– 4, jolla ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, toisin sanoen ei on reaaliluku, joka itsestään kerrottuna tuottaa √– 4, koska 2 · 2 = 4 ja (–2) (- 2) = 4.
Vuonna 1572 Rafael Bombelli oli kiireinen ratkaisemaan yhtälön x3 - 15x - 4 = 0 käyttäen Cardanon kaavaa. Tämän kaavan avulla voidaan päätellä, että tällä yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska se on lopulta tarpeen laskea √– 121. Muutaman yrityksen jälkeen on kuitenkin mahdollista löytää se 43 - 15 · 4 - 4 = 0 ja siksi, että x = 4 on tämän yhtälön juuri.
Ottaen huomioon todellisten juurien olemassaolon, joita Cardanon kaava ei ilmaise, Bombellilla oli ajatus olettaa että √– 121 johtaisi √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1: seen ja tämä voisi olla yhtälön ”epärealistinen” juuri tutkittu. Siten √– 121 olisi osa uuden tyyppistä lukua, joka muodostaa tämän yhtälön muut perusteettomat juuret. Joten yhtälö x
3 - 15x - 4 = 0, jolla on kolme juurta, x = 4 todellisena juurena ja kaksi muuta juurta, jotka kuuluvat tähän uuteen numerotyyppiin.1700-luvun lopulla Gauss nimesi nämä numerot nimellä kompleksiluvut. Tuolloin monimutkaiset luvut olivat jo ottamassa muotoa a + bi, kanssa i = √– 1. Lisäksi, ja B niitä pidettiin jo karteesisen tason pisteinä, joka tunnetaan nimellä Argand-Gauss-taso. Siten kompleksiluvun Z = a + bi geometrinen esitys oli suorakulmion tason piste P (a, b).
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Siksi ilmaisu "kompleksiluvut”Alettiin käyttää viitaten numeeriseen sarjaan, jonka edustajat ovat: Z = a + bi, jossa i = √– 1 ja ja B joka kuuluu reaalilukujoukkoon. Tätä esitystä kutsutaan kompleksiluvun Z algebrallinen muoto.
Koska kompleksiluvut muodostetaan kahdesta reaaliluvusta ja yksi niistä kerrotaan √– 1, näille todellisille numeroille on annettu erityinen nimi. Kun otetaan huomioon kompleksiluku Z = a + bi, a on "Z: n todellinen osa" ja b on "Z: n kuvitteellinen osa". Matemaattisesti voimme kirjoittaa vastaavasti: Re (Z) = a ja Im (Z) = b.
Ajatus kompleksiluvun moduulista kiteytyy analogisesti reaaliluvun moduulin ajatuksen kanssa. Kun piste P (a, b) on kompleksiluvun Z = a + bi geometrinen esitys, pisteen P ja pisteen (0,0) välinen etäisyys saadaan seuraavasti:
| Z | = √(2 + b2)
Toinen tapa esittää kompleksilukuja on Polaarinen tai trigonometrinen muoto. Tämä muoto käyttää kompleksiluvun moduulia rakenteeltaan. Kompleksiluku Z, algebrallisesti Z = a + bi, voidaan esittää polaarimuodossa seuraavasti:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
On mielenkiintoista huomata, että suorakulmainen taso määritetään kahdella kohtisuoralla viivalla, jotka tunnetaan nimellä x- ja y-akselit. Tiedämme, että reaalilukuja voidaan esittää viivalla, johon kaikki rationaaliluvut sijoitetaan. Loput välit ovat täynnä irrationaalisia lukuja. Todelliset luvut ovat kaikki rivillä, joka tunnetaan nimellä X-akseli suorakulmion tasosta, kaikki muut tähän tasoon kuuluvat pisteet olisivat kompleksilukujen ja reaalilukujen ero. Siten reaalilukujoukko sisältyy kompleksilukujoukkoon.
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Mitkä ovat kompleksiluvut?"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Pääsy 27. kesäkuuta 2021.