Harkitse polynomiyhtälö alla, jossa kaikki kertoimet eiovat kokonaislukuja:
eixei +n-1xn-1 +n-2xn-2 +… +2x2 +1x + a0 = 0
O Rationaalisen juuren lause takaa, että jos tämä yhtälö sallii rationaaliluvun P/mitä juurena (kanssa P
, mitä 
ja mdc (p, q) = 1) 0 on jaettavissa P ja ei on jaettavissa mitä.
Kommentit:
1º) Rationaalisten juurien lause ei takaa, että polynomiyhtälöllä on juuret, mutta jos niitä on, lauseen avulla voimme tunnistaa kaikki juuret yhtälön
2º) jos ei= 1 ja muut kertoimet ovat kaikki kokonaislukuja, yhtälöllä on vain kokonaislukujuuret.
3°) jos q = 1 ja on järkeviä juuria, nämä ovat kokonaisia ja jakajia 0.
Rationaalisen juuren lauseen soveltaminen:
Etsitään lauseen avulla kaikki polynomiyhtälön juuret 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Ensinnäkin, tunnistetaan tämän yhtälön mahdolliset järkevät juuret eli muodon juuret P/mitä. Lauseen mukaan 0 on jaettavissa P; tällä tavalla, miten 0 = 12, sitten mahdolliset arvot P ovat {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Vastaavasti meidän on ei on jaettavissa
mitä ja ei = 2, sitten mitä voi olla seuraavat arvot: {± 1, ± 2}. Siksi jakamalla arvot P per mitä, saamme mahdolliset arvot P/mitä yhtälön juuret: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Vahvistaaksemme, että löydetyt arvot ovat todella polynomiyhtälön juuria, korvataan jokainen arvo x yhtälön. Kautta algebrallinen laskenta, jos polynomin tulos on nolla, joten korvattu luku on itse asiassa yhtälön juuri.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Jos x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Jos x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Jos x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Jos x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Jos x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Jos x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Jos x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Jos x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Jos x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Jos x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Jos x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Jos x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Jos x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Jos x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Jos x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Jos x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Siksi polynomin yhtälön juuret 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 he ovat {– 3, – 2, ½, 2}. Kautta polynomihajoamislause, voimme kirjoittaa tämän yhtälön muodossa (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Kirjailija: Amanda Gonçalves
Valmistunut matematiikasta
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Rationaalisten juurien lause"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Pääsy 28. kesäkuuta 2021.
