Tutkimus numeeriset joukot on yksi matematiikan pääalueista, koska ne ovat erittäin tärkeitä alueen teoreettisen kehityksen kannalta ja niillä on useita käytännön sovelluksia. Numeeriset sarjat käsittävät opiskelussa:
- luonnolliset luvut;
- kokonaisluvut;
- järkevät numerot;
- irrationaaliset luvut;
- todelliset luvut; ja
- kompleksiluvut.
Lue lisää: Pääluvut - numerot, joilla on vain yksi ja jotka ovat itse jakajia
Luonnollisten numeroiden joukko
Ensimmäisten sivilisaatioiden kehitys toi mukanaan maatalouden ja kaupan parantamisen ja siten myös käyttämällä numeroita edustamaan määriä. Ensimmäinen sarja tuli luonnollisesti, joten sen nimi. Luonnollista nimettyä joukkoa käytetään edustamaan määriä, sitä merkitään symboli ℕ ja se on kirjoitettu järjestysmuodossa. Katso:
O joukko numeroita naturaOn é ääretön ja suljettu lisäys ja kertolasku, ts. aina kun lisätään tai kerrotaan kaksi luonnollista lukua, vastaus on silti luonnollinen. Vähennysoperaatioon ja jako, sarja ei ole suljettu. Katso:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Huomaa, että numerot –1 ja 0,5 ne eivät kuulu luontaisten joukkoon, ja tämä on perustelu uusien numerosarjojen luomiselle ja tutkimiselle.
Lisäksi, kun tähti (*) lisätään luonnollisen joukon symboliin, meidän on poistettava numero nolla luettelosta, katso:
kokonaisluvut asetettu
Koko asetettu numero keksi tarve suorittaa vähennyslasku ei rajoituksia. Kuten olemme nähneet, kun pienempi luku vähennetään suuremmasta, vastaus ei kuulu luontaisten ryhmään.
Lukujoukkoa edustaa myös ääretön numeerinen sekvenssi ja sitä merkitään symboli ℤ.
Kuten luonnollisten numeroiden joukossa, sijoittamalla tähti symboliin ℤ elementti nolla poistetaan joukosta seuraavasti:
Numeron mukana oleva symboli (-) osoittaa, että se on symmetrinen, joten luvun 4 symmetrinen luku on –4. Huomaa myös, että luonnollisten numeroiden joukko sisältyy kokonaislukujoukkoon, eli luonnollisten numeroiden joukko on kokonaislukujoukon osajoukko.
ℕ ⸦ ℤ
Lue myös: Operaatiot kokonaislukuilla - mitä ne ovat ja miten lasketaan?
joukko rationaalilukuja
O joukko rationaalilukuja é edustaa symboli ℚ eikä sitä esitä numeerinen sekvenssi. Tämä sarja koostuu kaikista numeroista, jotka voidaan esittää murto-osina. Esittelemme sen osia seuraavasti:
Tiedämme, että jokainen kokonaisluku voidaan esittää a: lla murto-osa, ts. kokonaislukujoukko sisältyy rationaalilukuihin, joten kokonaislukujoukko on rationaalien osajoukko.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Numerot, joilla on ääretön edustus, kuten määräajoin kymmenykset, on myös edustettuna murto-muodossa, joten ne ovat myös järkeviä.
Lue myös: Operaatiot murtoluvuilla - vaihe vaiheelta, miten ne ratkaistaan
Joukko irrationaalisia lukuja
Kuten olemme nähneet, luku on järkevä, jos se voidaan kirjoittaa murto-osana. On myös sanottu, että äärettömät ja jaksolliset luvut ovat järkeviä, mutta on joitain lukuja ei voi kirjoittaa murtolukuna ja jotka eivät sen vuoksi kuulu rationaalilukujen joukkoon.
Näitä ei-järkeviä numeroita kutsutaan irrationaalinen ja sen pääominaisuudet ovat desimaaliosan ääretön ja ei-taajuus, eli desimaaliosassa olevaa lukua ei toisteta. Katso joitain esimerkkejä irrationaaliset luvut.
- Esimerkki 1
Numeroiden neliöjuuret, jotka eivät ole täydellisiä neliöitä.
- Esimerkki 2
Vakiot, jotka ovat peräisin erityisistä syistä, kuten kultaluku, Eulerin numero tai Pi.
Reaalilukujen joukko
O joukko reaalilukuja kuvaa symboli ℝ ja muodostaa symboli yhtenäisyysrationaalilukujoukosta irrationaalilukujoukon kanssa. Muista, että rationaalijoukko on luonnollisten ja kokonaislukujoukkojen liitto.
Kun järjestämme reaaliluvut riville, meillä on, että luku nolla on rivin alkuperä, nollan oikealla puolella ovat positiiviset luvut ja vasemmalla negatiiviset luvut.
Koska tämä akseli on todellinen, voimme sanoa, että kahden luvun välillä on ääretön määrä ja että tämä akseli on ääretön sekä positiivinen suunta kun sisään negatiivinen suunta.
Joukko kompleksilukuja
O kompleksinumero se on kestää ja se syntyi samasta syystä kuin kokonaislukujoukko, toisin sanoen se on operaatio, jonka kehittäminen vain reaalijoukkojen kanssa ei ole mahdollista.
Ratkaisemalla seuraava yhtälö, katso, että sillä ei ole ratkaisua, tietäen vain reaaliluvut.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Huomaa, että meidän on löydettävä luku, joka kun nostadO neliö, johtaa negatiiviseen määrään. Tiedämme sen mikä tahansa luku neliössä on aina positiivinen, siis tällä laskelmalla ei ole todellista ratkaisua.
Näin luotiin kompleksiluvut, joissa meillä on a kuvitteellinen luku merkitty i, jolla on seuraava arvo:
Joten, ymmärrä, että yhtälö jolla ei aiemmin ollut ratkaisua, sillä on se. Tarkista:
Lue lisää: Ominaisuudet, joihin sisältyy kompleksilukuja
todelliset aikavälit
Joissakin tapauksissa emme käytä kaikkia todellisia akseleita, eli käytämme sen osia, joita kutsutaan taukoja. Nämä välit ovat reaalilukujoukon osajoukot. Seuraavaksi muodostamme joitain merkintöjä näille osajoukoille.
Suljettu alue - ilman äärimmäisyyksiä
Väli on suljettu, kun se on kaksi ääripäätä, toisin sanoen vähimmäis- ja maksimiarvot, ja tässä tapauksessa äärimmäisyydet eivät kuulu alueeseen. Merkitsemme tämän käyttämällä avointa palloa. Katso:
Punaisella ovat numerot, jotka kuuluvat tähän alueeseen, eli ne ovat numeroita suurempi kuin a ja pienempi kuin b. Algebrallisesti kirjoitamme tällaisen aikavälin seuraavasti:
< x
Missä luku x on kaikki todelliset luvut, jotka ovat tällä alueella. Voimme myös edustaa sitä symbolisesti. Katso:
]; B [ tai (; B)
Suljettu alue - mukaan lukien ääripäät
Käytetään nyt suljettuja palloja edustamaan sitä äärimmäisyydet kuuluvat alueeseen.
Joten keräämme reaalilukuja, jotka ovat välillä a ja b, mukaan lukien ne. Algebrallisesti ilmaisemme tällaisen välin seuraavasti:
≤ xb
Symbolista merkintää käyttämällä meillä on:
[The; B]
Suljettu alue - mukaan lukien yksi äärimmäisistä
Vielä käsitellään suljettuja intervalleja, meillä on nyt tapaus vain yksi ääripäistä sisältyy. Siksi yksi marmoreista sulkeutuu osoittaen, että numero kuuluu alueelle, ja toinen ei, mikä osoittaa, että numero ei kuulu kyseiseen alueeseen.
Algebrallisesti edustamme tätä aluetta seuraavasti:
≤ x
Symbolisesti meillä on:
[The; B [ tai [The; B)
Avoin valikoima - ei päätä mukana
Alue avataan, kun ei sisällä enimmäis- tai vähimmäiselementtiä. Nyt näemme avoimen alueen kotelon, jossa on vain maksimielementti, joka ei sisälly alueeseen.
Katso, että alue koostuu reaaliluvut alleB, ja huomaa myös luku b, joka ei kuulu alueeseen (avoin pallo), joten algebrallisesti voimme edustaa intervallia seuraavasti:
x
Symbolisesti voimme edustaa sitä:
] – ∞; B [ tai (– ∞; B)
Avoin alue - mukaan lukien äärimmäinen
Toinen esimerkki avoimesta alueesta on tapaus, jossa ääripää on mukana. Tässä meillä on alue, jolla minimielementti näkyy, katso:
Huomaa, että kaikki reaaliluvut ovat suurempia tai yhtä suuria kuin luku a, joten voimme kirjoittaa tämän alueen algebrallisesti seuraavasti:
xettä
Symbolisesti meillä on:
[The; +∞[ tai [The; +∞)
avoin alue
Toinen avoimen kantaman tapaus muodostuu numerot, jotka ovat suurempia ja pienempiä kuin todelliselle linjalle kiinnitetyt numerot. Katso:
Huomaa, että tähän alueeseen kuuluvat todelliset luvut ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku a, tai ne, jotka ovat suurempia kuin luku b, joten meidän on:
x että taix > b
Symbolisesti meillä on:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
tai
(– ∞; a] U (b; + ∞)
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm