I: n alkuperä on neliö, joka on yhtä suuri kuin -1

Monimutkaisten lukujen tutkimuksessa kohtaamme seuraavan tasa-arvon: i² = – 1.
Tämän tasa-arvon perustelu liittyy yleensä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen negatiivisilla neliöjuurilla, mikä on virhe. Lausekkeen alkuperä i² = - 1 esiintyy kompleksilukujen määritelmässä, toinen asia, joka herättää myös paljon epäilyksiä. Ymmärretään syy tällaiseen tasa-arvoon ja miten se syntyy.
Ensinnäkin tehdään joitain määritelmiä.
1. Järjestettyä reaalilukuparia (x, y) kutsutaan kompleksiluvuksi.
2. Kompleksiluvut (x₁y₁) ja (x₂y₂) ovat yhtä suuret vain ja vain, jos x₁ = x₂ ja y₁ = y₂.
3. Kompleksilukujen summaaminen ja kertolasku määritellään seuraavasti:
(x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + y₂)
(x₁y₁) * (x₂y₂) = (x₁* x₂ - y₁* y₂, x₁* y₂ + y₁* x₂)
Esimerkki 1. Harkitse z₁ = (3, 4) ja z₂ = (2, 5), lasketaan z₁ + z₂ ja z₁* z₂.
Ratkaisu:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Kolmannen määritelmän avulla on helppo osoittaa, että:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x

₁ + x₂, 0)
(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁* x₂, 0)
Nämä yhtälöt osoittavat, että summaus- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen kompleksiluvut (x, y) käyttäytyvät kuin reaaliluvut. Tässä yhteydessä voimme luoda seuraavan suhteen: (x, 0) = x.
Käyttämällä tätä suhdetta ja symbolia i edustamaan kompleksilukua (0, 1) voimme kirjoittaa minkä tahansa kompleksiluvun (x, y) seuraavasti:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, joka on kompleksiluvun normaali muotopuhelu.
Siten kompleksiluvusta (3, 4) normaalimuodossa tulee 3 + 4i.
Esimerkki 2. Kirjoita seuraavat kompleksiluvut normaalimuodossa.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Huomaa nyt, että kutsumme i kompleksiluvuksi (0, 1). Katsotaanpa, mitä tapahtuu i2: tä valmistettaessa.
Tiedämme, että i = (0, 1) ja että i² = i * i. Seuraa sitä:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Määritelmän 3 avulla meillä on:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0) )
Kuten aiemmin näimme, muodon jokainen kompleksiluku (x, 0) = x. Täten,
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0) ) = - 1.
Saavuimme kuuluisaan tasa-arvoon i² = – 1.

Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi

Monimutkaiset numerot - Matematiikka - Brasilian koulu

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm