Monimutkaisten lukujen tutkimuksessa kohtaamme seuraavan tasa-arvon: i2 = – 1.
Tämän tasa-arvon perustelu liittyy yleensä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen negatiivisilla neliöjuurilla, mikä on virhe. Lausekkeen alkuperä i2 = - 1 esiintyy kompleksilukujen määritelmässä, toinen asia, joka herättää myös paljon epäilyksiä. Ymmärretään syy tällaiseen tasa-arvoon ja miten se syntyy.
Ensinnäkin tehdään joitain määritelmiä.
1. Järjestettyä reaalilukuparia (x, y) kutsutaan kompleksiluvuksi.
2. Kompleksiluvut (x1y1) ja (x2y2) ovat yhtä suuret vain ja vain, jos x1 = x2 ja y1 = y2.
3. Kompleksilukujen summaaminen ja kertolasku määritellään seuraavasti:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1) * (x2y2) = (x1* x2 - y1* y2, x1* y2 + y1* x2)
Esimerkki 1. Harkitse z1 = (3, 4) ja z2 = (2, 5), lasketaan z1 + z2 ja z1* z2.
Ratkaisu:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Kolmannen määritelmän avulla on helppo osoittaa, että:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x
(x1, 0) * (x2, 0) = (x1* x2, 0)
Nämä yhtälöt osoittavat, että summaus- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen kompleksiluvut (x, y) käyttäytyvät kuin reaaliluvut. Tässä yhteydessä voimme luoda seuraavan suhteen: (x, 0) = x.
Käyttämällä tätä suhdetta ja symbolia i edustamaan kompleksilukua (0, 1) voimme kirjoittaa minkä tahansa kompleksiluvun (x, y) seuraavasti:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, joka on kompleksiluvun normaali muotopuhelu.
Siten kompleksiluvusta (3, 4) normaalimuodossa tulee 3 + 4i.
Esimerkki 2. Kirjoita seuraavat kompleksiluvut normaalimuodossa.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Huomaa nyt, että kutsumme i kompleksiluvuksi (0, 1). Katsotaanpa, mitä tapahtuu i2: tä valmistettaessa.
Tiedämme, että i = (0, 1) ja että i2 = i * i. Seuraa sitä:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Määritelmän 3 avulla meillä on:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0) )
Kuten aiemmin näimme, muodon jokainen kompleksiluku (x, 0) = x. Täten,
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0) ) = - 1.
Saavuimme kuuluisaan tasa-arvoon i2 = – 1.
Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi
Monimutkaiset numerot - Matematiikka - Brasilian koulu
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm
