D'Alembertin lause

D'Alembertin lause on välitön seuraus jäljellä olevasta lauseesta, joka koskee polynomin jakoa tyypin x - a binomilla. Loppulauseessa sanotaan, että polynomilla G (x) jaettuna binomilla x - a loppuosa R on yhtä suuri kuin P (a),
x = a. Ranskalainen matemaatikko D'Alembert osoitti edellä mainitun lauseen huomioon ottaen, että polynomi mikä tahansa Q (x) on jaollinen x - a: lla, ts. loppuosa jaosta on yhtä suuri kuin nolla (R = 0), jos P (a) = 0.
Tämän lauseen avulla polynomin jakauman laskeminen binomilla (x –a) on helpompaa, joten koko jakoa ei tarvitse ratkaista, jotta tiedetään, onko loppuosa nolla vai erilainen.
Esimerkki 1
Laske jakauman loppuosa (x² + 3x - 10): (x - 3).
Kuten D'Alembertin lause sanoo, tämän jaon loppuosa (R) on yhtä suuri kuin:
P (3) = R
3² + 3 * 3-10 = R
9 + 9-10 = R
18-10 = R
R = 8
Joten loput tästä jaosta tulee olemaan 8.
Esimerkki 2
Tarkista onko x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 on jaollinen x - 1: llä.
D’Alembertin mukaan polynomi on jaettavissa binomilla, jos P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)

⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Koska P (1) ei ole nolla, polynomi ei ole jaettavissa binomilla x - 1.
Esimerkki 3
Laske m: n arvo siten, että polynomin jakauman loppuosa
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 x - 2 on 6.
Meillä on, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
Esimerkki 4
Laske 3x-polynomin jakauman loppuosa³ + x² - 6x + 7 x 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

kirjoittanut Mark Noah
Valmistunut matematiikasta
Brasilian koulutiimi

Polynomit - Matematiikka - Brasilian koulu

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm