Järjestely toistolla: mikä se on, kaava, esimerkkejä

Tiedämme miten toista järjestely tai täydellinen järjestely, kaikki järjestetyt uudelleenryhmittymät, joiden kanssa voimme muodostaa k joukon elementit ei elementit, joiden elementti on ei voi esiintyä useammin kuin kerran. THE kombinatorinen analyysi matematiikan alue kehittää laskentatekniikoita mahdollisten klustereiden määrän löytämiseksi tietyissä tilanteissa.

Näiden ryhmittymien joukossa on järjestely toistolla, joka esiintyy esimerkiksi salasanojen ja rekisterikilpien luominen, muiden välillä. Näiden tilanteiden ratkaisemiseksi käytämme toistokaavaa järjestelykaavaa laskentatekniikkana. Toistuvan järjestelyn ja ei-toistuvan järjestelyn laskemiseksi on olemassa erilaisia ​​kaavoja, joten on tärkeää tietää, miten kukin näistä tilanteista voidaan erottaa oikean laskentatekniikan soveltamiseksi.

Lue myös: Laskennan perusperiaate - kombinatorisen analyysin pääkäsite

Mikä on järjestely toistamisen kanssa?

Ajoneuvolevyjen valmistuksessa on järjestely, joka toistaa. [1]

Jokapäiväisessä elämässämme kohtaamme tilanteita, joihin liittyy sekvenssejä ja ryhmittelyjä, jotka näkyvät valitse salasanoja sosiaalisista verkostoista tai pankista ja myös puhelinnumeroista tai tilanteista jonot. Joka tapauksessa meitä ympäröivät tilanteet, joihin liittyy näitä ryhmittymiä.

Esimerkiksi rekisterikilvissä, jotka koostuvat kolmesta kirjaimesta ja neljästä numerosta, on a ainutlaatuinen merkkijono valtioittain, joka tunnistaa jokaisen auton, tässä tapauksessa työskentelemme järjestelyt. Kun elementit on mahdollista toistaa, työskentelemme koko järjestelyn tai järjestelyn kanssa toistoa.

Annetaan joukko ei elementtejä, tunnemme järjestelynä toistamisen kanssa kaikki ryhmittymät, joiden kanssa voimme muodostaa k tämän elementtejä aseta, jossa elementti voidaan toistaa useammin kuin kerran. Esimerkiksi ajoneuvojen rekisterikilvissä on mahdollista rekisteröidä mahdollisten rekisterikilpien määrä ottaen huomioon, että niillä on kolme kirjainta ja neljä numeroa ja että kirjaimet ja numerot voidaan toistaa.

Laskemme mahdollisten toistuvien järjestelyjen lukumäärän käyttämällä hyvin yksinkertaista kaavaa.

Järjestelykaava toistolla

Löydä koko järjestelyn määrä ei erilliset elementit k sisään

vai niin, tietyssä tilanteessa, joka sallii elementin toistamisen, käytämme seuraavaa kaavaa:

ILMA_ei,_k = ei^k

AR → järjestely toistolla
ei → sarjan elementtien lukumäärä
k → valittujen elementtien lukumäärä

Katso myös: Yksinkertainen yhdistelmä - laskee tietyn sarjan kaikki osajoukot

Kuinka laskea toistuvan järjestelyn numero

Katso alla oleva esimerkki, jotta ymmärrät paremmin toistosuunnitelmakaavan soveltamisen.

Esimerkki 1:

Pankkisalasanassa on viisi numeroa, jotka koostuvat yksinomaan numeroista. Kuinka monta mahdollista salasanaa on?

Tiedämme, että salasana on viisinumeroinen merkkijono ja että toistoja ei ole rajoitettu, joten käytämme järjestelykaavaa toistolla. Käyttäjän on valittava 10 numeron joukosta, joka muodostaa tämän salasanan kaikki viisi numeroa, eli haluamme laskea järjestelyn toistamalla 10 elementtiä joka viides.

ILMA_10,5 = 10⁵ = 10.000

Joten salasanamahdollisuuksia on 10000.

Esimerkki 2:

Kuinka monen rekisterikilven voit muodostaa, kun tiedät, että ajoneuvokilvet koostuvat kolmesta kirjaimesta ja neljästä numerosta?

Aakkosemme koostuu 26 kirjaimesta ja on 10 mahdollista numeroa, joten jaetaan kahteen täydelliseen ryhmään ja löydetään kirjaimille ja numeroille mahdollisten taulukoiden määrä.

ILMA_26,3 = 26³ = 17.576
ILMA₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Siten mahdollisten järjestelyjen kokonaismäärä on:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Ero yksinkertaisen järjestelyn ja toistojärjestelyn välillä

Yksinkertaisen järjestelyn erottaminen järjestelystä toistolla on välttämätöntä aiheeseen liittyvien ongelmien ratkaisemiseksi. Tärkeää erottelun kannalta on ymmärtää, että kun käsittelemme tilannetta, jossa on uudelleenryhmittymiä, joiden järjestys on tärkeä, kyse on järjestelystä, ja jos nämä uudelleenryhmittelyt sallivat toistamisen termien välillä, se on toistoa koskeva järjestely, joka tunnetaan myös nimellä järjestely saattaa loppuun. Kun uudelleenryhmittely ei salli toistoa, se on noin yksinkertainen järjestely.

Yksinkertainen järjestelykaava eroaa toisesta järjestelystä käytetystä.

Olemme nähneet esimerkkejä toistuvasta järjestelystä aiemmin, nyt esimerkki yksinkertaisesta järjestelystä

Esimerkki:

Paulo haluaa laittaa hyllyllensä kolme 10 koulukirjaansa, jotka kaikki eroavat toisistaan, kuinka monella tavalla hän voi järjestää nämä kirjat?

Huomaa, että tässä tapauksessa järjestys on tärkeä, mutta toistoja ei ole, koska se on yksinkertainen järjestely. Löydämme mahdollisten ryhmittelyjen määrän seuraavalla tavalla:

Jos haluat lisätietoja tästä yhdistelmäanalyysissä käytetystä ryhmittelymuodosta, lue teksti: THEyksinkertainen järjestely.

Harjoitukset ratkaistu:

Kysymys 1 - (Enem) Pankki pyysi asiakkaitaan luomaan henkilökohtaisen kuusinumeroisen salasanan, joka koostuu vain numeroista 0-9, jotta pääsy sekkitilille Internetin kautta. Sähköisten turvajärjestelmien asiantuntija suositteli kuitenkin, että pankin johto rekisteröi käyttäjät uudelleen, pyytämällä sitä kukin niistä, uuden salasanan luominen kuudella numerolla, mikä sallii nyt aakkosen 26 kirjaimen käytön numeroiden lisäksi 0 - 9. Tässä uudessa järjestelmässä kutakin isoa kirjainta pidettiin erillään sen pienistä kirjaimista. Lisäksi muun tyyppisten merkkien käyttö oli kielletty.

Yksi tapa arvioida salasanajärjestelmän muutos on tarkistaa parannuskerroin, mikä on syy uudelle salasanamahdollisuuksien määrälle suhteessa vanhaan. Suositeltu muutoksen parannuskerroin on:

Resoluutio

Vaihtoehto A

Vanha salasana on matriisi, joka toistaa, koska se voi koostua kaikista numeroista, joten se on 10 elementin taulukko joka kuudes.

ILMA_10,6 = 10⁶

Uusi salasana voi koostua 10 numerosta ja myös isoista kirjaimista (26 kirjainta) ja pieniä kirjaimia (26 kirjainta), joten salasanassa on jokaiselle numerolle yhteensä 10 + 26 + 26 = 62 mahdollisuuksia. Koska numeroita on kuusi, laskemme järjestelyn toistamalla 62 elementtiä joka kuudes.

ILMA_62,6 = 62⁶

THE syy uudesta salasanamahdollisuuksien lukumäärästä vanhaan on 62⁶/10⁶.

Kysymys 2 - (Enem 2017) Yritys rakentaa verkkosivustonsa ja toivoo houkuttelevansa noin miljoonan asiakkaan. Tarvitset salasanan, jonka muoto on määriteltävä tälle sivulle. Ohjelmoija tarjoaa viisi muotoiluvaihtoehtoa, jotka on kuvattu taulukossa, joissa L ja D edustavat vastaavasti isoa kirjainta ja numeroa.

Aakkoset 26 mahdollisen joukossa sekä numerot 10 mahdollisen joukossa voidaan toistaa missä tahansa vaihtoehdossa.

Yritys haluaa valita muotovaihtoehdon, jonka mahdollisten erillisten salasanojen määrä on suurempi kuin odotettu asiakasmäärä, mutta tämä määrä ei ylitä kaksinkertaista odotettua asiakasmäärää Asiakkaat.

Resoluutio

Vaihtoehto E

Laskemalla kaikki mahdollisuudet haluamme löytää salasanan, jolla on yli miljoona ja alle kaksi miljoonaa mahdollisuutta.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ on yli kaksi miljoonaa, joten se ei täytä yrityksen pyyntöä.

II → DDDDDD

10⁶ on yhtä suuri kuin miljoona, joten se ei täytä yrityksen pyyntöä.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ on yli kaksi miljoonaa, joten se ei täytä yrityksen pyyntöä.

IV → DDDDD

10⁵ se on alle miljoona, joten se ei täytä yrityksen pyyntöä.

V → LLLDD

26³ · 10² on miljoonasta kahteen miljoonaan, joten tämä salasanamalli on ihanteellinen.

Kuvahyvitys

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm