Sisemine saadus kahe vektori vahel

O täpne korrutis kahe vektori vahel on reaalarv, mis seob nende vektorite suurust, see tähendab nende pikkust ja nende vahelist nurka. Selle arvutamiseks on seetõttu vaja teada nende pikkusi ja moodustatavat nurka.

Kasutades alust lennukina, näitab vektor asukohta, intensiivsust, suunda ja suunda. Seetõttu kasutatakse seda mehaanika (füüsika) uuringutes objektile rakendatava jõu esindajana.

Vektori tavaline esitus on nool, mis lõpeb punktis. Selle punkti koordinaadid on väidetavalt vektori koordinaadid, mis algavad punktist O (0,0). Selle tähistamiseks kirjutame v = (a, b). Seega tõmmatakse vektor v = (1,2) järgmiselt:

Vektornäide algusest alates

Selle vektori pikkuse arvutamiseks võtke arvesse selle moodustatud täisnurkset kolmnurka ja selle projektsiooni x-teljel (või y-teljel), nagu on näidatud järgmisel joonisel:

Vektori pikkus v

Vektori v pikkust nimetatakse v vektori norm või vektormoodul v ja seda tähistab | v |. Pange tähele, et vektori norm v = (a, b) on täpselt ülaltoodud joonisel kujutatud kolmnurga hüpotenuusi mõõt. Selle mõõtmise arvutamiseks kasutame Pythagorase teoreemi:

| v |² =² + b²

| v | = √ (a² + b² )

Kaks vektorpunkti korrutust

Arvestades kahte vektorit u ja v, tähistab nende vahelist sisemist saadust ja on määratletud kui:

= | u || v | · cosθ

See on omamoodi korrutamine kahe vektori vahel, kuid seda ei nimetata korrutiseks, kuna see pole tavaline korrutamine, kuna see hõlmab nende kahe vektori poolt moodustatud nurka.

Nurk kahe vektori vahel

Esimene ülaltoodud määratlusest tulenev tulemus on kahe vektori nurk. Reaalarvude “punkt korrutis”, “u vektor norm” ja “v vektor norm” abil on võimalik arvutada vektorite u ja v vaheline nurk. Selleks tehke lihtsalt arvutused:

Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Seetõttu jagades sisemise korrutise vektorite u ja v normidega, leiame nende kahe vektori vahelise koosinusele ja seega ka nende vahelisele nurgale viitava reaalarvu.

Pange tähele, et kui kahe vektori nurk on sirge, on cosθ võrdne nulliga. Seetõttu on ülaltoodud tootel järgmine tulemus:

= 0

Selle põhjal võib järeldada, et arvestades kahte vektorit u ja v, on nad ortogonaalsed, kui = 0.

Sisemine toode arvutatakse vektorkoordinaatide järgi

Võttes arvesse kahte vektorit u = (a, b) ja v = (c, d), saadakse punktide korrutis u ja v vahel:

= = a · c + b · d

Toote sisemised omadused

Arvestades vektoreid u, v ja w ning tegelikku arvu α, pange tähele:

i) =

See tähendab, et vektorite sisemine korrutis on “kommutatiivne”.

ii) = +

See omadus on võrreldav korrutamise jaotuse liitmisel.

iii) = = α

U ja v vahelise siseprodukti arvutamine korrutatuna reaalarvuga α on sama mis sisemise korrutise arvutamine αv ja u vahel või v ja αu vahel.

iv) = 0 <=> v = 0

V sisemine korrutis v-ga on ainult null, kui v on nullvektor.

v) ≥ 0 kõigi v korral.

V sisemine korrutis v-ga on alati suurem või võrdne nulliga.

Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika