Kõik olemasolevad numbrid loodi vastavalt loomise ajal inimese vajadustele, nagu loomulike arvude puhul, mis loodi "varude" ja irratsionaalsete arvude loendamiseks ja kontrollimiseks, mis loodi probleemide lahendamiseks seoses juured. Just juurte probleemid said alguse teadmistest kompleksarvud.
Ruutvõrrand x2 + 4x + 5 = 0 pole tegelikke juuri. See tähendab, et reaalarvude hulga piires on võimatu leida väärtusi x jaoks, mis võrduksid selle võrrandi esimese ja teise väärtusega. Vaatleme seda nähtust Bhaskara valemi algusest peale:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Kui Δ-le on leitud negatiivne väärtus, on Bhaskara valemiga jätkamine võimatu, kuna see nõuab √Δ (deltajuure) arvutamist. Nüüd teame, et √– 4 ei saa arvutada, kuna pole reaalset arvu, mis iseenesest korrutatuna tulemuseks oleks - 4.
Nende vajaduste rahuldamiseks loodi kompleksarvud. Selle loomisest alates saab √– 4 arendada järgmiselt:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) mõistetakse kui uut tüüpi numbreid. Kõigi nende arvude kogumit nimetatakse kompleksarvude kogumiks ja selle uue hulga iga esindaja on määratletud järgmiselt: Olgu A kompleksarv,
A = The + Bi, kus Theja B on reaalarvud ja i = √ (- 1)
Selles määratluses The See on tuntud kui tegelik osa A-st ja B See on tuntud kui kujuteldav osa A.
Kompleksarvude omadused
Reaalarvud tähistavad tervikut ja geomeetriliselt joont. Kompleksarvud esindavad omakorda tervet tasapinda. Kompleksarvude tähistamiseks kasutatud ristkülikukujulist tasapinda nimetatakse Argand-Gaussi tasapinnaks.
Iga kompleksarvu saab esitada Argand-Gaussi tasapinnal koordinaatide punktina (a, b). Kaugust kompleksarvu tähistavast punktist punktini (0,0) nimetatakse kompleksarvu mooduliks., mis on määratletud:
Olgu A = a + bi kompleksarv, selle moodul on | A | = a2 + b2
Kompleksarvudel on ka pöördelement, mida nimetatakse konjugaadiks. See on määratletud järgmiselt:
Olgu A = a + bi kompleksarv,
Ā = a - bi on selle arvu konjugaat.
1. vara: Kompleksarvu ja selle konjugaadi korrutis on võrdne kompleksarvu reaalosa ja mõttelise osa ruutude summaga. Matemaatiliselt:
AĀ = a2 + b2
Näide: mis on A = 2 + 5i korrutis tema konjugaadi abil?
Tehke lihtsalt arvutus: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Kui otsustaksime kirjutada A konjugaadi ja pärast seda teostada korrutamine AĀ, oleksime:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
See tähendab, et pakutava atribuudi abil on võimalik nende arvutuste käigus vältida nii pikka arvutust kui ka vigu.
2. vara: Kui kompleksarv A on võrdne tema konjugaadiga, siis A on reaalarv.
Olgu A = a + bi. Kui A = Ā, siis:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Seetõttu on b = 0
Seetõttu on kohustuslik, et iga tema konjugaadiga võrdne kompleksarv oleks ka reaalarv.
3. omadus: Kahe kompleksarvu summa konjugaat on võrdne nende arvude konjugaatide summaga., see on:
_____ _ _
A + B = A + B
Näide: mis on 7 + 9i ja 2 + 4i summa konjugaat?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Võite kõigepealt lisada ja seejärel arvutada tulemuse konjugaadi või teha kõigepealt konjugaadid ja seejärel lisada tulemused hiljem.
4. omadus: Produkti konjugaat kahe kompleksarvu vahel on võrdne nende konjugaatide korrutisega, st:
__ _ _
AB = A · B
Näide: mis on A = 7i + 10 ja B = 4 + 3i konjugaatide produkt?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10-7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Sõltuvalt harjutuse vajadusest on võimalik kõigepealt korrutada ja pärast konjugaat arvutada või enne korrutamist konjugaadid kuvada.
5. vara: Kompleksarvu A ja selle konjugaadi korrutis on võrdne A mooduli ruuduga, st:
AĀ = | A |2
Näide: A = 2 + 6i, siis AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Pange tähele, et pole vaja leida konjugaati ja korrutada läbi korrutamise jaotava omaduse liitmisel (tuntud kui väike dušipea).
6. omadus: Kompleksarvu moodul on võrdne selle konjugaadi mooduliga. Teisisõnu:
| A | = | Ā |
Näide: leidke kompleksarvu A = 3 + 4i konjugaadi moodul.
Pange tähele, et konjugaati pole vaja leida, kuna moodulid on samad.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Kui | Ā | arvutataks, oleks ainus muudatus a B negatiivne ruut, millel on positiivne tulemus. Seega oleks tulemus ikkagi 25 juur.
7. omadus: Kui A ja B on kompleksarvud, siis on A ja B mooduli korrutis võrdne A ja B korrutise mooduliga., st:
| AB | = | A || B |
Näide: Olgu A = 6 + 8i ja B = 4 + 3i, kui palju on | AB |?
Pange tähele, et enne mooduli arvutamist ei ole vaja kompleksarvusid korrutada. Võimalik on arvutada iga kompleksarvu moodul eraldi ja siis lihtsalt korrutada tulemused.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm