THE algebraline avaldise faktoriseerimine koosneb algebralise avaldise kirjutamisest toote vorm. Praktilistel juhtudel, see tähendab mõne sellega seotud probleemi lahendamisel algebralised väljendid, faktoriseerimine on äärmiselt kasulik, sest enamikus olukordades lihtsustab see töötatud väljendit.
Algebraliste avaldiste faktoriseerimiseks kasutame matemaatikas väga olulist tulemust nimega aritmeetika põhiteoreem, mis ütleb, et mis tahes täisarvu, mis on suurem kui 1, saab kirjutada väärtuse korrutisena algarvud, Vaata:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Arvestasime lihtsalt numbreid 121 ja 60.
Loe ka: Arvu lagunemine põhiteguriteks
Algebraliste avaldiste arvestamise meetodid
Nüüd näeme peamisi faktoriseerimismeetodeid, enimkasutatavaid - lühikese geomeetrilise põhjenduse. Vaata:
Tõendite faktooring
Mõelge ristkülikule:
Pange tähele, et ristkülik sinine pluss rohelise ristküliku pindala annab suurema ristküliku. Vaatame kõiki neid valdkondi:
THESININE = b · x
THEROHELINE = b · y
THESUUREM = b · (x + y)
Niisiis, peame:
THESUUREM = ASININE + AROHELINE
b (x + y) = bx + poolt
Näited
) Avaldise arvestamiseks: 12x + 24a.
Pange tähele, et tõendite tegur on 12, kuna see ilmub mõlemas pakis, nii et sulgudes olevate arvude määramiseks piisab jagama iga maatükk tõenditeguri järgi.
12x: 12 = x
24a: 12 = 2a
12x + 24a = 12 · (x + 2a)
B) Avaldise 21ab faktoriks2 - 70.2B.
Samamoodi määratakse esialgu kindlaks tõenditegur, see on pakkides korduv tegur. Vaadake, et numbrilisest osast on meil 7 ühise tegurina, kuna see jagab mõlemad numbrid. Sõna otseses osas vaadake, et ainult tegurit korratakse abseetõttu on tõenditegur: 7ab.
21ab2 - 70.2b = 7ab (3b - 10The)
Loe ka: Polünoomide jagunemine: kuidas seda teha?
Faktooring grupeerimise teel
Faktoriseerimine grupeerimise järgi on tulenevad faktooringust tõendite alusel, ainus erinevus on see, et selle asemel, et monoomium oleks ühine tegur või tõenditegur, on meil a polünoom, vaata näidet:
Vaatleme avaldist (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Pange tähele, et levinud tegur on binoom (a + b),seetõttu on eelmise avaldise faktoreeritud vorm:
(a + b) · (Xy + wz2)
kahe ruudu vahe
Mõelgem kahele arvule a ja b, kui meil on a erinevus nende arvude ruudust, see tähendab2 - B2, et saaksime need kirjutada erinevuse summa korrutis, st:
The2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Näited
) Avaldise x faktoriseerimiseks2 - jah2.
Saame kasutada kahe ruudu erinevust, nii et:
x2 - jah2 = (x + y) · (x - y)
B) Faktoriks 20202 – 2.0192.
Saame kasutada kahe ruudu erinevust, nii et:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Täiusliku ruudu kolmiknurk
Võtke järgmine ruut küljelt (a + b) ja märkige üles selle sees moodustunud ruutude ja ristkülikute alad.
Vaadake ruut suurema annab (a + b)2, kuid teisest küljest saab suurima ruudu pindala, lisades selle sees olevad ruudud ja ristkülikud:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Samamoodi peame:
(a - b)2 =2 - 2ab + b2
Näide
Vaatleme avaldist x2 + 12x + 36.
Seda tüüpi avaldise faktoriseerimiseks määrake lihtsalt muutuja x ja sõltumatu koefitsient ning võrrelge antud valemiga:
x2 + 12x + 36
The2 + 2ab + b2
Võrdluste tegemisel vaadake, et x = a, 2b = 12 ja b2 = 36; võrdsuste korral on meil b = 6, seega on arvutatud avaldis järgmine:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Keskkooli trinoom
Vaatleme kirvest trinoomselt2 + bx + c. Selle fakteeritud kuju võib leida kasutades oma juured, see tähendab x väärtused, mis nullivad selle avaldise. Selle väärtuse määramiseks, mis muudavad selle avaldise nulliks, lahendage lihtsalt võrrandi telg2 + bx + c = 0, kasutades mis tahes meetodit, mis on mugav. Siinkohal toome välja tuntuima meetodi: Bhaskara meetod.
Kirvetrinoomi faktoreeritud vorm2 + bx + c on:
kirves2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Näide
Vaatleme avaldist x2 + x - 20.
Esimene samm on x-võrrandi juurte määramine.2 + x - 20 = 0.
Seega avaldise x faktoreeritud vorm2 + x - 20 on:
(x - 4) · (x + 5)
Kuubik kahe numbri erinevusest
Kahe arvu a ja b vahe kuup on antud:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kuup kahe numbri summast
Samamoodi on meil see (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , varsti:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
lahendatud harjutused
küsimus 1 - (Cefet-MG), kus arv n = 6842 – 6832, n-de arvude summa on:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Resolutsioon
Alternatiiv d. N-i arvude summa kindlaksmääramiseks arvestame kõigepealt avaldise, kuna ruutude arvutamine ja seejärel lahutamine pole vajalik. Faktoristades avaldise kahe ruudu erinevuse abil, on meil:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1 367 · 1
n = 1,367
Seetõttu on n-de arvude summa antud 1 + 3 + 6 + 7 = 17
2. küsimus - (Modified Insper-SP) Määrake avaldise väärtus:
Resolutsioon
Märgistuse lihtsustamiseks nimetagem a = 2009 ja b = 2. pidage meeles, et 22 = 4, seega peame:
Pange tähele, et murdosa loendis on meil kahe ruudu vahe, nii et saame kirjutada2 - B2 = (a + b) (a - b). Varsti:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm